數形結合，開放互動，追求適切

丁同軍

[摘 要] 學習反比例函數的圖像與性質之后，會與很多數學知識、生活知識關聯起來“生成”新的數學綜合問題，學生在最初應對這類問題時常常感覺困難，為了幫助學生積極面對，突破問題，善于數形結合地分析，讓教學環節開放，促進師生對話互動，追求適切的教學，是有效的教學嘗試.

[關鍵詞] 數形結合；反比例函數；開放教學；互動對話

寫在前面

學習反比例函數的概念、圖像和性質之后，學生初步具備了數形結合的思想方法和演算能力. 為了應用反比例函數的圖像與性質研究生活、生產中變量之間的聯系，應構建反比例函數模型解決問題，加深和拓展學生對數學的理解. 筆者近期執教了一節反比例函數性質應用的習題課，本文梳理該課的教學流程，并跟進解讀，以提供研討.

“實際問題與反比例函數”課

堂實錄

1. 教學環節一：溫故知新，引入新課

師：請每位同學打開幾何畫板的課件（見圖1），用鼠標點擊反比例函數k值框下面的箭頭，改變k值的大小，并觀察圖形與k值的關系.

師：k值是正數時……

生1：k值是正數時，反比例函數的圖像分布在第一、三象限.

生2：k值是正數時，在每個象限內，函數y的值隨x值的增大而減小.

師：k值取正數時，函數圖像與坐標軸的距離怎樣？

生3：k值取正數時，k值越大，函數圖像越靠近坐標軸；k值越小，函數圖像越遠離坐標軸.

師：k值是負數時……

生4：k值是負數時，反比例函數的圖像分布在第二、四象限.

生5：k值是負數時，在每個象限內，函數y的值隨x值的增大而增大.

師：k值取負數時，函數圖像與坐標軸的距離怎樣？

生6：k值取負數時，k值越大，函數圖像越遠離坐標軸；k值越小，函數圖像越靠近坐標軸.

解讀 這樣設計的意圖：（1）引導回憶舊知；（2）展現數形結合思想；（3）運用信息技術直觀教學. 本課建立在舊知的基礎上研究反比例函數的圖像和性質，并運用反比例函數的圖像與性質解決實際問題.

2. 教學環節二：基礎練習，鞏固訓練

已知反比例函數y=的圖像經過點（2，3），則點A（-，-2），B（2，），C（0，6），D9，不在反比例函數y=圖像上的是______.

生1：先求出k的值是6，然后依次把A，B，C，D的坐標代入，計算出k的值. 經過計算可確定不在反比例函數y=圖像上的點是C.

師：由此可歸納出k值的第一個作用是什么？

生2：k值的第一個作用是判斷“點”是否在反比例函數圖像上.

解讀 這樣設計的意圖是初步了解k的值，為進一步研究k值做鋪墊.

3. 教學環節三：創設情境，繼續研究

為控制沙漠化蔓延，我們在一些地區種植抗沙漠化的植被，現計劃種植8 km2的植被. 如果按長方形種植，它們的長與寬（此處忽略長方形中“長>寬”這一條件）可以是：1，8；2，4；4，2；8，1…請問每個這樣的長方形的長和寬呈什么比例關系？

生1：反比例關系.

師：理由呢？

生2：因為長與寬的乘積等于一個常數.

師：好！既然呈反比例關系，那我們把每個長方形的長作為橫坐標，寬作為縱坐標，得到點（1，8），（2，4），（4，2），（8，1）…建立坐標系，這些點在什么函數圖像上？

生3：在函數y=的圖像上.

師：請小組討論一下：由題目，長方形植被的面積值跟反比例函數y=有什么關系？

（小組討論，教師巡視）

生4：我們小組的結論是，過反比例函數圖像上任意一點向x軸、y軸作垂線，其與坐標軸圍成的矩形面積等于k.

解讀 通過情境教學，激發學生的學習興趣，培養學生的知識來源于實踐又反作用于實踐的辯證唯物主義觀念.

4. 教學環節四：例題講評，鞏固新知

例題 如圖2，點P是反比例函數y=圖像上一點，過點P分別向x軸、y軸作垂線PM和PN，垂足分別為點M和點N. （1）求四邊形PMON的面積；（2）求△POM的面積.

師：根據剛才的學習可知什么？

生1：k就是四邊形PMON的面積.

師：正確，誰來板演一下解題全過程？

生2（板書）：設P（a，b），因為PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，所以四邊形PMON是矩形. 所以S=PN×PM=ab=k=8. 所以四邊形PMON的面積為8.

師：很好，第（2）問中的三角形的面積和剛剛所求的四邊形的面積有什么關系？

生3：△POM的面積等于四邊形PMON面積的一半，即k=4.

師：各小組討論一下剛才的解題規律.

（小組討論，教師巡視）

生4：過反比例函數圖像上任意一點向x軸、y軸作垂線，其與坐標軸圍成的矩形面積等于k，若與原點相連，所構成的直角三角形的面積等于k.

解讀 例題是“基礎訓練”部分的延續和拓展，學生的回答處理得比較直截了當，教師的引導激勵了學生思考，引導其探索解題思路，促使學生自始至終處于積極的思維活動中. 學生的積極主動，也較好地把學習知識和培養分析探索能力融為一體.

5. 教學環節五：課堂小結

師：今天我們復習反比例函數的圖像與性質，你有哪些收獲？哪位同學小結一下？

生：今天我們學習了……

（教師在黑板上板書）

解讀 本環節是對教學過程的回顧，也是對學習中的得與失進行歸納，突出這節課的要點、難點、重點、易錯點.

教后反思

1. 重視數形結合思想方法的滲透

我們知道，“數無形，少直觀；形無數，難入微. ”初中函數教學強調的就是數形結合. 本節課教學的基本目的是讓學生能靈活運用反比例函數的圖像與性質解決實際問題，其重點是k的幾何意義的歸納和使用. 為了達到這節課的教學目的，教師創設教學情境，極大地調動學生的學習積極性，采用啟發式教學，自主探究、小組合作貫穿始終，師生共同分析、解決教學中遇到的問題，學生在學習知識的同時，提高了觀察、分析、歸納、總結的能力，以及團結合作的意識. 剛開始，從復習舊知入手，通過動手操作、合作交流活躍課堂氣氛，滲透數形結合思想方法，做好本節課思想方法的鋪墊；其次，利用幾何畫板動態演示反比例函數圖像上點的橫、縱坐標的關系和規律，讓學生發揮觀察、分析、歸納等能力的作用，提煉出k的幾何意義，并明確其在解題中的實際作用；再次，為鞏固學習成果，進行經典例題探究，強化變式訓練，即一題多解，一題多變，一法多用；最后，“當堂檢測”環節要求限時完成，正確率較高，最終驗證了這節課是一節非常成功的課.

2. 預設開放問題，倡導互動對話

為了充分發揮每個學生思維的積極性，本課設計了多個師生互動環節，有的是集體討論環節，有的是小組合作交流環節，有的是人機互動環節，有的是當堂檢測互批互評環節……真正尊重學生在教育教學中的主體位置，又竭盡全力地發揮學生的主觀能動性. 學生收獲的不僅是知識、方法，更是成功經驗和體驗.

3. 做好“多與少、快與慢”的協調與平衡

多放手，少代勞. 每當學生遇到疑難和困惑的時候，我們是不是要做一個“有求必應”的老師呢？現實教學中，有些老師或家長打著“教育”或“親情”的名義，手把手地解決學生學習過程中遇到的問題，事無巨細，這樣不是愛護，而是剝奪了他們鍛煉的機會，是溺愛，是代勞，我們應該對孩子多一點兒信任，少一點兒包辦，應啟發、引導、尊重他們的學習主動權.

快節奏，慢過程. 由于教學內容上有難易、主次之分，教學步驟上有復習、引入、歸納、例題、練習、檢測等不同環節，而一節課的時間畢竟有限，所以要想達到一節課的教學目標，就要突破這節課的難點，教學速度上必然要有緩急之分，要遵循知識的發生、發展規律，合理安排時間，當快則快，不拖泥帶水，否則浪費時間，當慢則慢，細嚼慢咽，慢工出細活，否則欲速則不達.