創(chuàng)設(shè)童話情境　為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)加點(diǎn)“料”
——《三角形的內(nèi)角和》教學(xué)實(shí)錄

單廣紅（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級(jí)下冊(cè)第78、79頁例4和“練一練”及相關(guān)習(xí)題。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識(shí)目標(biāo)：通過測(cè)量、剪、拼、折疊等直觀操作活動(dòng)，探索并發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和等于180°；能應(yīng)用這一知識(shí)求三角形中一個(gè)未知角的度數(shù)。

2.能力目標(biāo)：通過操作、討論、推理等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生自主探索意識(shí)，積累類比、歸納等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。

3.情感目標(biāo)：在經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考和探究的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和探索精神以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】

三角形的內(nèi)角和是180°。

【教學(xué)難點(diǎn)】

三角形內(nèi)角和的推理過程。

【教學(xué)過程】

一、引入：故事激疑，自主生成探究問題

談話：今天，三角形王國(guó)里吵得不可開交，咱們?nèi)タ纯窗伞?/p>

（播放錄音：數(shù)學(xué)童話《三角形家族之爭(zhēng)》）

在三角形王國(guó)里，住著“直角三角形”“銳角三角形”和“鈍角三角形”三大家族。這一天，家族間的三兄弟因件小事吵了起來。

直角三角形說：我個(gè)頭最高，我的內(nèi)角和最大！

銳角三角形說：我的面積最大，所以我的內(nèi)角和最大！

鈍角三角形說：我有一個(gè)鈍角，比你們每個(gè)角都大，我的內(nèi)角和才是最大的！

直角三角形說：我最大！

銳角三角形說：我最大！

鈍角三角形說：我最大！

師：同學(xué)們，聽了三兄弟的爭(zhēng)吵，你想到了什么問題？

生：什么叫內(nèi)角？

生：什么叫內(nèi)角和？

生：三角形的內(nèi)角和到底是多少呢？

生：不同三角形的內(nèi)角和一樣不一樣呢？

生：到底誰的內(nèi)角和大呢？

師：大家真會(huì)思考。帶著這些問題，今天老師和大家一起來探究三角形的內(nèi)角和。

（板書：三角形的內(nèi)角和）

【設(shè)計(jì)意圖：開頭運(yùn)用童話故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為了涵蓋三角形的所有情況，將故事情節(jié)設(shè)計(jì)成三角形王國(guó)的三大家族：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，每種類型中又各有一個(gè)代表分別用各自的優(yōu)勢(shì)條件來說明自己的內(nèi)角和是最大的。學(xué)生在聆聽爭(zhēng)吵中產(chǎn)生一系列問題：什么是內(nèi)角和？?jī)?nèi)角和怎么算？到底誰的內(nèi)角和大？自然生成本節(jié)課的探究問題。】

二、展開：操作解疑，合作驗(yàn)證探索結(jié)論

1.理解：“內(nèi)角”與“內(nèi)角和”。

師：你知道什么叫“內(nèi)角”嗎？這兒有一個(gè)三角形，哪位同學(xué)到屏幕上指一指？

生：（學(xué)生在屏幕指）因?yàn)槿齻€(gè)角都在三角形的內(nèi)部，所以叫三角形的內(nèi)角。（課件演示內(nèi)角）

師：什么叫“內(nèi)角和”？

生：三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之和叫三角形的內(nèi)角和。

2.猜想：三角形的內(nèi)角和180°。

師：同學(xué)們，剛才三個(gè)三角形的觀點(diǎn)，你最支持哪一個(gè)？說說你的理由？

生：我覺得鈍角比直角和銳角都大，所以我支持鈍角三角形內(nèi)角和最大。

生：銳角三角形面積那么大，內(nèi)角和感覺也應(yīng)最大！

生：我感覺鈍角三角形雖然有一個(gè)鈍角很大，但另外兩個(gè)角卻很小，它的內(nèi)角和不一定最大。

生：我認(rèn)為它們的內(nèi)角和應(yīng)該一樣大。

師：假如內(nèi)角和是一樣大的，猜一猜，會(huì)是多少度呢？

生：180°！

師：180°僅僅是猜想，到底是不是呢？還需要我們進(jìn)行驗(yàn)證。

3.驗(yàn)證：操作探究，用不同方法進(jìn)行驗(yàn)證。

（1）算一算：三角尺內(nèi)角和。

師：提到三角形，我們手中就有最熟悉的三角形工具——三角尺，就從三角尺開始研究好嗎？（出示例4）

師：你知道每塊三角尺三個(gè)內(nèi)角的和是多少度嗎？取出你的三角尺，回憶每個(gè)角各是多少度，同桌兩人分別算一算每個(gè)三角尺的內(nèi)角和是多少。

生：90°+60°+30°＝180°。

“按行消元，逐行規(guī)格化”的計(jì)算過程決定了其不適合應(yīng)用對(duì)角元以右元素與對(duì)角元以下元素的對(duì)稱性進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)樵谶@種計(jì)算方式下，對(duì)第i行元素進(jìn)行消元，要通過賦值分別或者一次性地得到其對(duì)角元以左的第1～i-1個(gè)元素就顯得極為不便。因此這種計(jì)算方式對(duì)A陣元素的前代過程有大量的多余計(jì)算，從而導(dǎo)致計(jì)算效率不高。如果僅計(jì)算包括對(duì)角元素的上三角元素或包括對(duì)角元素的下三角元素，而通過對(duì)稱性來獲得另一半元素，則由于上下三角元素的不等，在對(duì)A陣或F陣元素的前代過程中會(huì)出現(xiàn)大量乘或除對(duì)角元素的重復(fù)計(jì)算，同樣影響計(jì)算效率。

生：90°+45°+45°＝180°。

師：通過計(jì)算，兩個(gè)三角尺內(nèi)角和確實(shí)都是180°，但這兩個(gè)特殊的例子還不能充分說明問題。其他的直角三角形內(nèi)角和是不是180°呢？銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和又會(huì)是多少呢？你打算怎么驗(yàn)證呢？

【設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)工具三角尺入手，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，驗(yàn)證了兩個(gè)三角尺的內(nèi)角和確實(shí)是180°，初步體驗(yàn)成功。再由特殊走向一般，設(shè)法驗(yàn)證任意三角形的內(nèi)角和。】

（2）小組合作：用不同方法進(jìn)行驗(yàn)證。

師：同學(xué)們熟悉180°嗎?是什么角的度數(shù)？請(qǐng)大家沿著這樣的思路，再想一想，有什么方法可以將三個(gè)不在一起的角聚到一塊兒呢？

四人一組討論，思考可以采用哪些驗(yàn)證方法。

組長(zhǎng)匯報(bào)，教師板書：量一量撕一撕折一折。

師：剛才我們想出了“量一量”“撕一撕”“折一折”的方法，也許在實(shí)驗(yàn)中同學(xué)們還能想到更好的方法呢。請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)建議，分小組開始實(shí)驗(yàn)。

活動(dòng)建議1.組長(zhǎng)分工研究任務(wù)，自主選擇驗(yàn)證方法實(shí)驗(yàn)。2.將三角形標(biāo)注好∠1、∠2、∠3，以便觀察和記錄。3.把實(shí)驗(yàn)中你的發(fā)現(xiàn)在小組內(nèi)說一說。

師：每小組推薦一位代表匯報(bào)實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果，其他人隨機(jī)補(bǔ)充。

●方法一：量一量。

生：55°+45°+80°＝180°。

生：67°+40°+74°＝181°。

生：33°+116°+30°＝179°。

師：這幾位同學(xué)測(cè)量后計(jì)算的內(nèi)角和有的正好是180°，有的不是180°。這是怎么回事呢？

生：測(cè)量時(shí)量角器沒放好或者不是整度數(shù)時(shí)取值有誤差。

師：看來“量一量”的方法說服力不夠強(qiáng)，還有更好的辦法嗎？

●方法二：撕一撕。

生：我是撕下三角形三個(gè)角，拼在一塊兒是一個(gè)平角，平角就是180°，所以三角形的內(nèi)角和是180°。

師：你撕的是哪一類三角形？

生：我是用鈍角三角形。

師：用銳角和直角三角形也能將它們的內(nèi)角撕拼成平角的同學(xué)舉手示意一下。

●方法三：折一折。

生：我是把銳角三角形折成一個(gè)長(zhǎng)方形，三個(gè)內(nèi)角也拼在一塊兒，形成一個(gè)平角。（學(xué)生示范，然后貼在黑板上）

師：誰是用鈍角三角形折的？誰是用直角三角形折的？

生：我是用直角三角形折的，但和他們實(shí)驗(yàn)方法不一樣。我發(fā)現(xiàn)直角三角形兩個(gè)銳角折到一塊，正好與直角重合，兩個(gè)銳角和是90°，再加上直角，三角形內(nèi)角和也是180°

師：你的想法很有創(chuàng)意，可以一眼看出直角三角形的兩個(gè)銳角和是 90°。

4.結(jié)論：從剛才的實(shí)驗(yàn)中，可以得到什么結(jié)論？

板書：三角形的內(nèi)角和是180°。

5.介紹帕斯卡研究方法。

師：同學(xué)們知道世界上是哪位數(shù)學(xué)家最早發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°的嗎？

（播放錄音，介紹帕斯卡及其研究方法：帕斯卡從一個(gè)長(zhǎng)方形開始研究，因?yàn)殚L(zhǎng)方形有四個(gè)直角，所以長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是90°×4＝360°，把長(zhǎng)方形沿對(duì)角線分開,那么得到兩個(gè)帶有直角的三角形,其中有一個(gè)直角的三角形的內(nèi)角和就是 360°÷2＝180°，而所有的長(zhǎng)方形都可以這樣分，由此推想出“含有一個(gè)直角的三角形內(nèi)角和都是180°”。接著帕斯卡又繼續(xù)研究其他三角形，任意一個(gè)三角形都可以通過畫高，分成兩個(gè)含有直角的三角形,這個(gè)任意三角形的度數(shù)就是兩個(gè)直角三角形內(nèi)角總和的度數(shù)減去一個(gè)平角的度數(shù)，就是 180°×2－180°＝180°，由此帕斯卡推想出：所有三角形的內(nèi)角和都等于180°。）

師：帕斯卡是從長(zhǎng)方形這個(gè)已知圖形的內(nèi)角和，來推理三角形的內(nèi)角和的。到了中學(xué)，同學(xué)們還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)三角形內(nèi)角和的推理驗(yàn)證方法。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，你想對(duì)他們?nèi)值苷f些什么？

生：你們別再吵啦，你們的內(nèi)角和都是一樣的。

生：別吵啦，無論什么樣的三角形，內(nèi)角和都是180°！

師：三兄弟為了感謝大家，邀請(qǐng)我們一起去三角形王國(guó)做客，我們走吧。

（課件出示情境圖）

【設(shè)計(jì)意圖：四年級(jí)學(xué)生年齡還偏小，一般第一反應(yīng)是用測(cè)量的方法驗(yàn)證，很難想到“撕拼”或“折拼”方法，很期待有個(gè)“腳手架”，這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生回想“180°是什么角的度數(shù)？請(qǐng)大家沿著這樣的思路想下去……”學(xué)生很快會(huì)想到把三個(gè)分散的角設(shè)法“聚”在一塊兒，于是在腦中自然閃出“撕”“折”“量”等方法。各人根據(jù)需要自主選擇驗(yàn)證方法，在展示分享中實(shí)現(xiàn)方法多樣化。】

三、總結(jié)：應(yīng)用釋疑，多元辨析探尋本質(zhì)

1.家族內(nèi)戰(zhàn)。

師：三角形三大家族間的矛盾解決了，現(xiàn)在每個(gè)家族內(nèi)部又鬧開了。

（出示教具三角尺和學(xué)具三角尺）

大三角尺：都說三角形內(nèi)角和都是180°，瞧你那小樣兒，憑什么內(nèi)角和與我相等！

小三角尺：這？

師：哪位同學(xué)能幫它們解決困惑？

生：大三角尺只是面積大，面積大三條邊就長(zhǎng)。

生：比如它們都有一個(gè)直角是一樣大的，只是邊不一樣長(zhǎng)而已。（學(xué)生上臺(tái)演示）

生：我知道了，它們對(duì)應(yīng)的三個(gè)角其實(shí)都一樣大，只是邊的長(zhǎng)短不同。因?yàn)榻堑拇笮『瓦叺拈L(zhǎng)短無關(guān)，所以內(nèi)角和是一樣的。

師：說得太精彩了。用這個(gè)道理也可以解決銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)部矛盾。

（課件動(dòng)態(tài)演示相似大小三角形的三個(gè)角相等）

【設(shè)計(jì)意圖：由解決“家族間矛盾”，再到解決“家族內(nèi)部矛盾”，隨著童話情節(jié)的推進(jìn)，探索的問題也逐步深入，在操作中歸納出“不同類型的三角形內(nèi)角和是 180°”，在辨析中明白“形狀相同而大小不同的三角形內(nèi)角和也是 180°”。】

2.變形精靈。

師：三角形王國(guó)有個(gè)“變形精靈”，它可以通過變形，自由出入三大家族中。

（課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)下圖）

（1）已知等腰三角形的頂角是110°，求底角的度數(shù)。

（2）已知直角三角形一個(gè)銳角的是55°，求另一銳角度數(shù)。

（3）求等邊三角形中每個(gè)角的度數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖：通過“變形精靈”的變形，輕松愉快地求出三角形中的未知角。在小精靈“變形”過程中展開坡度練習(xí)，從一般到特殊，引導(dǎo)學(xué)生“自悟”隱含條件，在解決富有挑戰(zhàn)性的問題后，還發(fā)現(xiàn)了“三角形的形狀與大小都在改變，但內(nèi)角和沒變，都是180°。”】

3.我來變形。

兩個(gè)完全相同的三角尺拼成一個(gè)大三角形后，新三角形的內(nèi)角和是多少呢？

4.知識(shí)延伸。

如果拼一拼小精靈變出的這些三角形，可以得到四邊形、五邊形、六邊形……，它們的內(nèi)角和又是多少呢？根據(jù)今天的學(xué)習(xí)你會(huì)有哪些啟發(fā)？

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生憑直覺認(rèn)為一個(gè)三角尺內(nèi)角和是180°，兩個(gè)拼起來內(nèi)角和理應(yīng)是360°，通過動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)兩個(gè)直角都拼到邊上去時(shí)內(nèi)角和應(yīng)是 360°-180°＝180°。最后動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)三角形拼成多邊形，引發(fā)學(xué)生推理，為后續(xù)學(xué)習(xí)埋下伏筆。】