從“面的經驗”到“面積的認知”
——《認識面積》改造型教學的實踐與思考

李俊飛

有些知識，是自然生長出來的，是富有生命和靈性的。“認識面積”就是這樣的知識，擁有生長的力量，具有生命的活力。《認識面積》的教學怎樣展開？怎樣“教對”？怎樣“教好”？我們認為應該找到它生活或演繹的源頭，將學生心中“對生活經驗的明白”改造成“對數學學科知識的明白”，讓學生體會面積是由面慢慢“生長”起來的。本文以《認識面積》為例，結合“五問四小結”的教學過程，談談改造型教學的實踐與思考。

●一問：今天我們來討論一個關于“面”的話題，你在哪里碰到過、使用過“面”？請舉一個例子來說一說“面”是什么？

【生成】面條、方便面，臉面，地面、墻面、桌面、封面……

【評析：開門見山直指“面”，喚醒學生的生活經驗。從聊天入手，創設輕松和諧的學習氛圍，不僅喚醒了學生熟悉的生活經驗，更激起了學生思考問題、回答問題的興趣和勇氣。在此過程中，我們發現“吃的面”和“凹凸不平的臉面”等，不屬于我們這節課研究的范疇，所以，教師要在此環節有智慧地除去學生生活經驗中這些非數學學科的“偽經驗”，將視線回歸到像“桌面、板面、床面、墻面、地面、封面……”等“平平的面”上來。

在三年級常用版本的教材中，“面積概念”是表一這樣教學的。可見，部分版本教材的“面積概念”涉及了“物體表面”，但如果囿于“物體表面”，由摸一摸三維物體的表面進入教學，因為摸的是“體外面的全部”，無形中就會給學生一種“體的空間感”，從而模糊了“面的二維感”，學生就會容易混淆“面積和體積”的概念。也有的教材涉及“圍成”“封閉”，但如果囿于字面意思，無形中就會給學生一種“線圍成面”的錯覺，易混淆“周長與面積”的概念。所以，我們直接從“什么是面？”切入《認識面積》的教學，讓學生既不會有“體的空間感”，也不會有“線的框架感”，而是緊緊在“平面”上初步感知“面的二維性”，避免“體”“面”“線”三個概念間的模糊與混淆。】

表一

●二問：找到了這么多的面，把它們都畫下來好不好？

【生成】臉面畫成了“圓形”，地面、墻面、課桌面、封面等都畫成“長方形”……

小結1：生活中遇到很多的面，把這些面畫下來時，一定是各種各樣的平面圖形。（長方形、圓形、三角形等）

【評析：通過畫找到“面”，很自然地將學生生活經驗中的“面”抽象成數學學科中形式多樣的封閉“平面圖形”，巧妙地避開了面積概念中“物體的表面或封閉平面圖形”的人為分割，讓“物體表面”的“三維空間感”凸顯不出來，避免了與“體積”概念的混淆；也避開了概念中“圍成平面圖形”的“線圍成面”的錯覺，讓“線的一維感”凸顯不出來，避免了與“周長”概念的混淆。讓學生始終在“二維平面”上感知面。

而且，五個版本教材，面積概念涉及“（平面）圖形”，甚至干脆就只有“圖形的大小叫面積”，可見“圖形”在描述“面積概念”中的重要性。所以本環節的橫向數學化就顯得非常有必要，這也是為什么不死磕教材概念中“物體的表面”和“封閉、圍成”等詞字面意思的原因。】

●三問：黑板上的這些面，哪個面最特別？特別在哪里？（黑板板書：臉面，地面、墻面、桌面、封面）

【生成】臉面最特別，因為它摸起來軟綿綿的、凹凸不平，其他面都是平的。

小結2：我們今天不研究像臉面這樣凹凸不平的面，只研究像地面、墻面、桌面和封面這樣平平的面，這樣的面叫平面。

【評析：本環節其實是在講“面的分類”，若以“把這些面分一分類，你會怎么分？”提問的話，部分學生可能理解不了；而且這樣的問法，因為分類的標準有很多，會導致學生的回答不切要領，答案過于分散，這樣的分散，在這里是沒有意義的。學生對于“在集合中找出最特殊的元素”是有先天敏感性的，從很多個“平面”中找出那個“凹凸不平的面”是比較容易的。小結2把學生經驗中的面進一步縮小范圍，去除“凹凸不平的面”，留存本節課所研究的“平平的面”，達成從混沌到清晰的教學目標。】

●四問：我們在談論一個面的時候（或兩個面作比較時），是講大小？還是長短、厚薄、輕重？為什么？

小結3：對于面，我們不研究它的長短、厚薄、輕重，只研究其大小。面是講大小的，面的大小叫面積。

【評析：由表及里，探究面的本質屬性，是本課的核心環節。在學生的生活經驗里認為面是有輕重、厚薄、長短和大小的，教師要做的就是采用恰當的方式，幫學生除去面的非本質屬性——長短、厚薄、輕重，留存面的本質屬性——大小。

怎么幫助學生除去非本質屬性呢？1.去長短。其實，大小中是包含長短的，學生口中所說的“面的長短”，是對“扁扁的長條狀”與“寬寬的短條狀”的“長方形平面”的不科學表述。但我們還是有必要進行規范：不能將“面的大小”說成“面的長短”，因為“越長的面”不一定越大，“越短的面”不一定越小，即不能用一維的長短來描述二維的面的屬性。此過程也是在辨析“面積”與“周長”的區別和聯系。2.去厚薄和輕重。很多學生認為面是有“輕重”的，因為他們認為面是有“厚薄”的。比如，他們認為桌面就是桌子上面的那層木板，是有厚度的，是可稱出輕重的。其本源為學生對“面”和“體”是不分的。我們可以出示兩塊面積相等但厚薄不同的木板，設問“哪塊木板做出的桌面大？”，學生自然會恍然大悟——是一樣大的！我們在研究面的屬性時是不研究它的厚薄的，沒有厚薄，當然就沒有輕重。

進而把學生感悟到的進行小結：面只講大小，不講長短、厚薄和輕重，我們把面的大小，在數學中叫“面積”。突破難點，水到渠成。】

●五問：我們曾經比較過線段的長短，在比較線段長短時我們明白了什么道理？怎樣比較兩個物體的輕重？怎樣比較兩個人跑步速度快慢？今天學習了面積，要比較兩個面的大小，我們應該先做什么？

小結4：要比較，先測量；測量之前，必先規定度量單位。怎么規定面積單位？下節課繼續研究。

【評析：如何描述面的大小抑或如何比較面積呢？這個知識可以通過類比和遷移自主生成。類比什么呢？是學生已經熟知的“比較長短、輕重和快慢”。1.比較長短。先要測量，在測量之前，我們規定了長度單位。2.比較輕重。用秤稱，在稱之前我們規定了重量單位——克、千克、噸、斤、公斤等。3.比較快慢。用計時器測量時間，測量之前要規定時間單位——秒、分、時、日、月、年等。那么，要比較今天學習的面積，我們應該要做一件什么事情呢？——規定面積單位。

怎樣來認識面積單位呢？應該基于對舊知識的整理，自然推導出來。如何來比較兩個面的大小？我們去回顧“如何來比較兩條線段的長短？”“如何來比較兩個物體的輕重？”“如何來比較兩個人跑步速度的快慢？”……學生突然領悟：所有的這些，都是用“規定的單位”來“測量”，然后進行比較。那么，面積的比較，不也就是“用規定的面積單位來測量，再進行比較”嗎！關于面積單位怎么規定、測量工具怎么選擇，只需看書閱讀即可。】

五組問題四個小結，我們不斷在激活和改造學生原有的生活經驗，讓學生在輕松愉悅的談話中，體會知識自然生長出來的舒適，感悟概念從模糊到清晰的豁然，避免了對教材中復雜面積概念咬文嚼字式的字面解釋。

回到教學原點。教師教授知識，應該懷有敬畏之心，必須清楚自己明白了什么、知道學生已經明白了什么，然后選擇貼切的“材”、立好恰當的“序”，讓知識在合適的時空生長出來，最后以解決問題的方式讓學生明白知識的作用。如此，方能“教對”數學，“教好”數學，讓我們的數學課堂不僅有數學知識的傳遞，更有愛和善的慈悲。