以游戲為載體　發展思維能力
——《棋盤上的奧秘》教學設計與思考

朱姍姍

【教學內容】自編素材。

【教學過程】

一、回顧微課內容，引出課程中心

在授課前一天，學生已在家觀看微課《棋盤上的奧秘》，內容為：紅紅和明明兩人在12×12的棋盤上下棋，從右下角開始，兩人輪流下，只能下在前一顆棋子的左上方距離一格或兩格處，先搶到左上角的終點者獲勝。紅紅（執白）三局都獲勝。（圖1）

圖1　微課截圖

1.回顧微課，定義必勝點。（圖2）

圖2

討論“為什么紅紅三局都能贏？”得出“只要搶到3號點，不管對手下1格還是2格都能保證自己搶到終點”從而定義“不管對手如何下，都能保證必勝的點”為必勝點。

2.初步感受倒推，規范必勝策略的表達。

討論“想要搶到3號點，又得下到哪些點？”得出“想要下到3號點，必須搶到2號點；想要搶到2號點，必須搶到1號點。”

小結：用倒推的方法可以找出所有的必勝點。在這個棋盤上，要后下、下必勝點，才能獲勝。

【設計意圖：這部分內容是整堂課的準備環節。有以下幾個意圖：1.在微課中演示12×12棋盤及相應游戲規則的操作，便于學生熟悉棋盤，理解8×8棋盤的游戲規則；2.引出在一維線上進行逆向推理的核心問題；3.定義了必勝點并規范必勝策略的說法，使學生后續作答更具指向性。】

二、利用8×8的棋盤，在對弈中感悟嘗試和倒推

1.理解規則。

圖3　師生對弈

展示題目：在8×8棋盤的右下角放一顆棋子，以它為起點，兩人輪流在這個棋盤上下棋，規定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，先占領左上角者獲勝。

（1）師生對弈兩步：如果我的第一顆棋子下在這里，那么你的棋子可以下在哪里？

（2）師生對弈一局（教師執白，學生執黑），學生在“老師下到距離終點2格處點”時認輸。（圖3）

（3）討論：老師下到哪個點的時候你覺得老師一定能贏，為什么？

生：老師下到距離終點兩格處的點時一定贏了，因為我只能往上一格，而老師則會搶到終點。

【設計意圖：因有12×12棋盤游戲的微課學習，學生對8×8棋盤上的游戲規則比較容易理解。同時加入師生對弈環節，是為了保證全班學生都能掌握游戲規則，感知必勝點，為頓悟用“倒推法”找必勝點做鋪墊。】

2.探索必勝策略。

布置任務：在練習紙的對弈區，和你的同桌對弈，你下到哪個點的時候覺得自己肯定能贏，把這樣的點記錄在必勝點記錄區。

【設計意圖：在這里，我們給予學生充分的對弈體驗，讓學生在對弈中萌生博弈觀念，初步形成倒推思路。】

3.反饋：討論各個點是否為必勝點。

（1）錯誤點。（圖4）

生：下到這個點，如果對手往上，我可以往左上，搶到終點；如果對手往左上，我就直接往上搶到終點。

生：（反駁）下到這個點，如果對手往左，我就只能往上，這樣終點就被對手搶到，所以它不是必勝點。

小結：要考慮對方下棋的各種可能。

（2）往下、往右倒推點。（圖5、圖6）

生：如果我搶到這個點（圖5），對手就只能往上，我就能搶到終點。

生：如果我搶到這個點（圖6），對手就只能往左，我就能搶到終點。

（3）右下倒推點。（圖7）

生：這個點（插小旗的點）是必勝點，如果對方往左走，那我也往左，就可以搶到1號必勝點；如果對方往上，那我也往上，就可以搶到2號必勝點；如果對方往左上，那我也往左上，就直接搶到終點。也就是說只要我搶到這個點，不管對手往哪個方向下，我都能搶到終點。（學生說完后請兩位學生再把右下倒推點的驗證過程說一遍）

圖4　錯誤點

圖5　往下倒推點

圖6　往右倒推點

圖7　右下倒推點

【設計意圖：學生的對弈過程，實際上是一個嘗試錯誤的過程。這里的反饋分為三個層次，第一個層次，反饋錯誤點，讓學生再次明確，下棋是一種博弈，在想往對自己有利的方向發展時，對手也是這么想的，只有“不管對手如何下，都能保證必勝”的點才是必勝點；第二個層次，往右、往下的必勝點推導，為反饋右下必勝點做鋪墊；第三個層次，右下必勝點推導，稍有難度，通過多次復述推理過程，讓學生充分感悟推理的嚴密性。】

4.帶領倒推。

圖8

圖9

（1）討論：怎么才能搶到這個點？（圖7）

①依次根據對手的各種走法說出自己的應對策略，得出必勝點。

②把這個點當成終點，沿“田”字直接倒推出這三個點。（圖8）

（2）沿“田”字倒推能搶到這個點（插小旗的點）的必勝點。（圖9）

【設計意圖：在之前的學習中，學生已明白可以用倒推法尋找必勝點，但如何使用倒推法，仍有一定的難度。這一環節是基于學情的帶領倒推，這里要反饋兩種倒推方式：一是邊嘗試錯誤邊倒推→對前一環節的再一次嘗試和鞏固；二是建立模型后的倒推→類比倒推，建立模型，學會簡化。】

5.學生自主找必勝點。

【設計意圖：有了前面的帶領倒推，學生對全盤倒推有了一定的感知，這時候再次讓學生找必勝點，能夠水到渠成。】

6.師生對弈兩局。（均學生贏）

學生反饋必勝策略：想要搶到這個點，必須搶到這個點；想要搶到這個點，必須搶到這個點……從終點開始往起點倒推就可以了。所以必勝策略是后走，走必勝點。（圖10）

圖10

【設計意圖：贏了教師極大鼓舞了學生，并使學生獲得了數學學習的成就感。此環節通過規范語言，經歷推理過程，領悟“倒推”原理。】

7.小結：為了找到這個棋盤上的必勝策略，我們先嘗試找出離終點最近的三個必勝點，再從終點開始，往起點倒推。找完必勝點之后，老師和這位同學對弈，其實就是在驗證大家的必勝策略是否正確。

三、出示5×5棋盤，運用策略，鞏固方法

游戲規則相同，找出5×5棋盤的必勝點，并根據必勝點確定必勝策略。

反饋：必勝點（圖11）；必勝策略：先走，走必勝點。

圖11

【設計意圖：這一環節主要鞏固倒推的方法，讓學生將初步探索到的策略在變化了的情境中加以運用，在培養學生推理能力的同時鍛煉其語言表述的能力。】

四、出示 8×8－5×5 棋盤，引發認知沖突

圖12　學生推導必勝點

圖13　師生對弈

1.同樣的游戲規則，自行找出 8×8－5×5 棋盤的必勝策略。

2.反饋。（圖12）

3.師生對弈驗證，學生輸。（圖13，教師執白，學生執黑）

討論：已找到必勝點，為什么會輸？

生：沒考慮老師往上走，必勝策略有誤。

小結：我們用驗證的方法發現必勝策略是有漏洞的，說明在倒推的過程中還需要考慮對手下棋的各種可能，讓自己的思維更嚴謹、更全面。

【設計意圖：學習了前面的知識，學生會產生思維定勢，以為只要進行“田”字倒推即可，這一環節讓學生產生了強烈的認知沖突，從而促進學生反思：1.得出必勝策略后要進行驗證；2.倒推時務必嚴密。這一環節，既讓學生體驗了反思的重要意義，又感受到完整的解決問題的過程。】

五、回顧所學，全課小結

師：在今天這堂課上，你有什么新的收獲？

生：在尋找策略的時候我們可以先嘗試一下，找找感覺。

生：學會了用倒推去解決數學和生活問題。

生：思考問題要嚴密。

生：倒推后的順向驗證能幫我們驗證倒推結果是否正確。

【課后回望】

本課例是一節數學活動課。學生在充分的活動中積累經驗，教師進行適時的引導，使學生頓悟出方法的選擇。在討論中掌握方法的使用，并理解數學本質。

本課設計有以下幾個特點：

一、材料創設符合學生興趣

本課例采用學生十分喜愛的下棋游戲，學生興趣高漲，求知欲強烈。從 8×8，5×5 到 8×8－5×5，棋盤在不斷地演變，學生也在層次遞進的材料引導下不斷地觸碰他們的“最近發展區”，從原來沒有一個學生能夠解決問題到最后幾乎每位學生都至少能夠解決8×8的棋盤，不同程度的學生都有不同層次的收獲。

二、過程展開注重自主嘗試

在課堂上，教師放手讓學生通過不斷地出錯，在嘗試中進行自我糾錯、反思和辨正。在師生、生生之間對弈，獲得充分的感知經驗后，再經過教師的引導，自發地“頓悟”：可以使用倒推策略解決問題。學生對倒推法的選擇有了深刻的體驗。

三、引導介入尊重契合學情

盡管在獲得充分感知經驗后，學生已經頓悟可以用倒推法解決問題，但如何使用倒推法進行必勝策略的推導，學生仍有困難，需要教師的及時引導。教師抓準時機，在學生的討論中適時地進行方法點撥，讓學生再次對方法的使用有所頓悟。這樣的流程設計，既給了學生充分自主學習的空間、又尊重學情，既開放、又扎實。

四、教學推進關注策略與能力

本課例中，每一個過程設計都有明確的設計意圖，將課時整體目標細化為環節目標。盡管材料不斷演變，目標細化延展，但每一個材料和過程展開都緊緊圍繞博弈思想、倒推方法，并將最大的“力氣”用在培養學生的推理能力上。

授課后，我們也一直在思考棋盤的材料是否有更多可挖掘和探索的地方，也得到了很多教師的建議：如將規則改成只能往上或往左走，那么必勝策略會怎樣？這時候必勝策略的得出，除了可以在棋盤上倒推，還可以將8×8棋盤上的路線拉成一條能走16步的一條線段，此時棋盤就和搶數游戲完全相通了，方法和策略也在不同的材料中延伸貫通。