基礎(chǔ)實(shí)　思維活　能力強(qiáng)
——“智慧乘法運(yùn)算”教學(xué)小實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐與反思

錢(qián)敏超

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中將“運(yùn)算能力”作為十個(gè)核心概念之一，并指出“運(yùn)算能力是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。”乘法教學(xué)在小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用。如何通過(guò)乘法知識(shí)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力？我們選用浙江省新思維教育科學(xué)院張?zhí)煨⒗蠋熅帉?xiě)的“智慧乘法運(yùn)算——數(shù)學(xué)超市”材料，對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充與拓展，旨在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛力，發(fā)展高層次思維能力。

一、實(shí)驗(yàn)基本情況

1.人員組成。

學(xué)生自主報(bào)名，按學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、中、弱各選4人，共計(jì)12人；其中男生、女生各6人；指導(dǎo)教師1人。

2.教學(xué)材料。

“智慧乘法運(yùn)算——數(shù)學(xué)超市”材料（以下簡(jiǎn)稱“智慧超市”），包含多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)這兩部分內(nèi)容。該材料注重學(xué)生獲得運(yùn)算結(jié)果的思考過(guò)程，通過(guò)展開(kāi)運(yùn)算過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力，提高思維的批判性和創(chuàng)造性。

3.實(shí)驗(yàn)步驟。

實(shí)驗(yàn)分兩個(gè)階段進(jìn)行，2016年11月14日到12月9日為第一階段；2017年4月14日到5月5日為第二階段。兩個(gè)階段中，每周一到周五安排每天20分鐘的學(xué)生獨(dú)立作業(yè)時(shí)間；每周六上午9:00~11:00，安排教師和學(xué)生圍繞典型材料進(jìn)行教學(xué)互動(dòng)；合計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)間約30小時(shí)。

第一階段，主要配合人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“多位數(shù)乘一位數(shù)”這一單元的教學(xué)進(jìn)度，進(jìn)行適度拓展。拓展內(nèi)容可簡(jiǎn)單分為兩類(lèi)。一類(lèi)為強(qiáng)化算理，主要有：（1）增加乘法分配律和結(jié)合律的學(xué)習(xí)；（2）基于分配律的拆分訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)位值，如 46×2＝80＋□、71×5＝□＋5；逆向題：320＋24＝□×□、320＋72＝□×□；（3） 開(kāi)展三位數(shù)乘一位數(shù)算法多樣化的探索，強(qiáng)化思維的合理性和靈活性；（4）引進(jìn)組塊計(jì)算，如已知37×3＝111，求 37×6，74×3等。另一類(lèi)針對(duì)技能，主要有：（1）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練多位數(shù)乘法中可能發(fā)生的乘法運(yùn)算，如6×8＋2，8×6＋4；幾百幾十加兩位數(shù)，如 480+64，280+63；（2）進(jìn)行兩位數(shù)乘一位數(shù)六種類(lèi)型的口算強(qiáng)化訓(xùn)練，并組織了過(guò)關(guān)測(cè)試。（兩位數(shù)乘一位數(shù)可以分為六種類(lèi)型：①十位積、個(gè)位積都不進(jìn)位，如11×3；②十位積進(jìn)位，個(gè)位積不進(jìn)位，如61×3；③十位積不進(jìn)位，個(gè)位積進(jìn)位，如16×3；④十位積、個(gè)位積都進(jìn)位，乘積十位疊加不進(jìn)位，如66×3；⑤十位積不進(jìn)位，個(gè)位積進(jìn)位，乘積十位疊加進(jìn)位，如36×3；⑥十位積、個(gè)位積都進(jìn)位，乘積十位疊加進(jìn)位，如 69×3。）

第二階段，重點(diǎn)開(kāi)展兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“口、筆算結(jié)合”實(shí)驗(yàn)，教學(xué)序列如下：（1）算法多樣化的展開(kāi)與通法概括；（2）探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的新算法（含新的豎式計(jì)算方法）：①幾十一乘幾十一，如41×31；②十幾乘十幾及相關(guān)類(lèi)型，如 14×16、23×24、34×36；九十幾乘九十幾及相關(guān)類(lèi)型，如97×96、87×85、76×76；五十幾乘五十幾及相關(guān)類(lèi)型，如52×56、67×63、46×42；③一方相同，另一方和為 10，如 45×65、39×31；④組塊計(jì)算。

（例“五十幾乘五十幾”計(jì)算方法，其余計(jì)算方法見(jiàn)張?zhí)煨⒗蠋熅帉?xiě)的《智慧乘法實(shí)驗(yàn)材料》）

4.學(xué)習(xí)形式。

周一到周五，學(xué)生使用“智慧超市”材料自主作業(yè)，該過(guò)程教師不參與指導(dǎo)。每周六上午對(duì)作業(yè)中具有典型意義的疑難問(wèn)題進(jìn)行交流、分析、講解和鞏固練習(xí)。

二、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

1.兩位數(shù)乘一位數(shù)口算掌握情況。

如前述，兩位數(shù)乘一位數(shù)可以分為六種類(lèi)型。根據(jù)這六種類(lèi)型，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中進(jìn)行了三次學(xué)習(xí)檢測(cè)。第一次檢測(cè)含第①②③三種類(lèi)型；第二次檢測(cè)含第④種類(lèi)型；第三次檢測(cè)含第⑤⑥兩種類(lèi)型。每次檢測(cè)用時(shí)5分鐘，題量為45題，直接使用“智慧超市”材料中的檢測(cè)題。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：（單位：題/人，下同）

實(shí)驗(yàn)組　43.83　42.00　41.33對(duì)照組　40.27　36.67　32.81平均做對(duì)題數(shù)第①②③類(lèi)　　第④類(lèi)　　第⑤⑥類(lèi)

分析：實(shí)驗(yàn)組的總體情況領(lǐng)先于對(duì)照組；其中第①②③類(lèi)兩組學(xué)生差別不是很大，均達(dá)40題以上；第⑤⑥兩類(lèi)的差別較明顯，分析原因主要是第⑤⑥兩類(lèi)題目中含有“乘積十位疊加進(jìn)位”，如計(jì)算 69×8時(shí)，乘積十位“6×8＋7”需要進(jìn)位，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生經(jīng)過(guò)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練獲得了較為明顯的優(yōu)勢(shì)。

2.兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算掌握情況。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”進(jìn)行了一次評(píng)價(jià)檢測(cè)。檢測(cè)用時(shí)5分鐘，題量為30題，隨機(jī)排列。含：①幾十一乘幾十一類(lèi)型（4題）；②十幾乘十幾及相關(guān)類(lèi)型（4題）；③九十幾乘九十幾及相關(guān)類(lèi)型（4題）；④五十幾乘五十幾及相關(guān)類(lèi)型（6題）；⑤一方相同，另一方和為10（4題）；⑥組塊計(jì)算類(lèi)型（2題）；⑦其他類(lèi)型（6題）。具體題目如下：

41×31＝　94×98＝　58×29＝　52×54＝　98×15＝27×23＝　71×21＝　93×96＝　35×12＝　57×59＝12×13＝　54×54＝　81×91＝　95×86＝　14×15＝23×25＝　25×36＝　89×81＝　11×35＝　83×97＝62×54＝　75×18＝　18×91＝　73×77＝　31×33＝37×27＝　45×47＝　53×56＝　41×26＝　42×47＝

統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

實(shí)驗(yàn)組　　對(duì)照組平均做對(duì)題數(shù)　25.75　14.75平均正確率　85.83%　59.00%

從上表我們發(fā)現(xiàn)：實(shí)驗(yàn)組學(xué)生的運(yùn)算結(jié)果遙遙領(lǐng)先。我們又進(jìn)一步對(duì)學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的計(jì)算策略進(jìn)行了分析和比較，結(jié)果如下：

1～2種驗(yàn)組　0（0.00%）　7 3～4種　5種及以上實(shí)（58.33%）　5（41.67%）對(duì)照組　34（85.00%）　6（15.00%）　0（0.00%）

如《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》所言，運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在學(xué)生能根據(jù)算式特點(diǎn)，選擇合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑進(jìn)行計(jì)算。分析上表我們可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)照組學(xué)生的計(jì)算策略比較單一，85%的學(xué)生只呈現(xiàn)出1～2種計(jì)算策略；而實(shí)驗(yàn)組學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中能夠分析算式的特點(diǎn)，有合理選擇方法的意識(shí)和能力，普遍呈現(xiàn)出多種計(jì)算策略。

如實(shí)驗(yàn)組一位學(xué)生的作品，她對(duì)算法的選擇和使用達(dá)到了熟能生巧的水平。在短短五分鐘里，她根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，分門(mén)別類(lèi)，針對(duì)性地使用了七種運(yùn)算策略。

由此可以看出，“智慧超市”材料內(nèi)容的編排，揭示了數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、有效提升了學(xué)生的運(yùn)算能力。

三、進(jìn)一步的學(xué)習(xí)成效

1.多樣、開(kāi)放的學(xué)習(xí)材料，開(kāi)闊了學(xué)生的眼界。

“智慧超市”系列材料強(qiáng)調(diào)發(fā)揮學(xué)生的主體性，不強(qiáng)求學(xué)生一定要按“標(biāo)準(zhǔn)程序”計(jì)算，而是鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，自主創(chuàng)造個(gè)性化的計(jì)算方法。學(xué)生經(jīng)常參與自主探索和相互交流算法的實(shí)踐，就會(huì)逐步樹(shù)立起開(kāi)放、自主的學(xué)習(xí)信念。

如計(jì)算“36×15”，參與實(shí)驗(yàn)的學(xué)生一共提出八種不同的計(jì)算方法——思維的開(kāi)放性和靈活性可見(jiàn)一斑。

（1）36×15＝（30＋6）×15＝450＋90＝540

（2）36×15＝（10＋5）×36＝360＋180＝540

（3）36×15＝（40－4）×15＝600－60＝540

（4）36×15＝（20－5）×36＝720－180＝540

（5）36×15＝36×5×3＝180×3＝540

（6）36×15＝9×4×15＝9×60＝540

（7）36×15＝6×6×15＝6×90＝540

（8）36×15＝9×4×5×3＝27×20＝540

更重要的是，這種開(kāi)放和靈活的思維習(xí)慣能更廣泛地遷移到學(xué)習(xí)和練習(xí)中。

2.重視分析數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)和推理能力。

如前所述，“智慧超市”材料中設(shè)計(jì)了幾百幾十加兩位數(shù)的系列計(jì)算練習(xí)，如“540＋45＝□□×□”這樣的問(wèn)題。思考過(guò)程是：首先，回憶積為54和45的乘法口訣，確定它們都有哪個(gè)乘數(shù)（公因數(shù)）——6×9＝54、5×9＝45，確定其中一個(gè)乘數(shù)是9，另一個(gè)乘數(shù)十位是6，個(gè)位是5，即65。經(jīng)過(guò)這樣的訓(xùn)練，一位同學(xué)在做三位數(shù)乘一位數(shù)之“踢十法”專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練時(shí)（如 346×7＝306×7＋40×7，學(xué)生把這種先不算十位的方法稱為“踢十法”），把本來(lái)僅僅局限于加法技能的練習(xí)，當(dāng)作了推理訓(xùn)練的材料。例：832+560=□□□×□，通過(guò)分解832和56的因數(shù)，推導(dǎo)出與這道加法相聯(lián)系的乘法“174×8”。這樣的思考，無(wú)疑是非常獨(dú)特的。

又比如，我們發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)組有位學(xué)生對(duì)一道計(jì)算練習(xí)做了如下小筆記——

通過(guò)訪談，我們得知該生的解答過(guò)程別具一格。他先確定各算式乘積的個(gè)位分別是幾，按個(gè)位情況把算式和得數(shù)進(jìn)行分類(lèi)；再通過(guò)乘數(shù)的十位相乘來(lái)估算、鎖定正確結(jié)果。以“34×29、28×32和18×32”為例，乘積的個(gè)位都是“6”，分別對(duì)應(yīng)的必然是 576、986、896；通過(guò)十位相乘來(lái)估計(jì)，34×29、28×32 的結(jié)果必然大于600，所以 18×32 應(yīng)連 576；繼續(xù)觀察 34×29和28×32這兩個(gè)算式，發(fā)現(xiàn) 34＞32，29＞28，推知 34×29＞28×32，那么 34×29 連 986，28×32 連 896。

“智慧超市”不囿于算出正確的結(jié)果，而是把學(xué)習(xí)重心轉(zhuǎn)向獲得結(jié)果的思考過(guò)程。計(jì)算任務(wù)的設(shè)計(jì)精巧、獨(dú)特，序列合理，能有效提升學(xué)生的運(yùn)算能力和發(fā)展推理能力，為數(shù)感和創(chuàng)新思維的發(fā)展留下了廣闊的空間。