聚焦核心展本質(zhì)回歸樸實(shí)悟“通法”
——“雞兔同籠”教學(xué)新策略

何月豐　張永輝

【課前思考】

修訂后的人教版教材，“雞兔同籠”安排在四年級下冊。近兩年時(shí)間，筆者與學(xué)校四年級學(xué)科組對這節(jié)課進(jìn)行了深入的思考與實(shí)踐，在以下幾個問題上，有了新的認(rèn)識。

問題一：“雞兔同籠”該教哪種方法好？

“雞兔同籠”的解法眾多。修訂后的人教版教材將其安排在四年級下冊，這樣“砍去”了方程一法，但仍有畫圖、列表、假設(shè)，還有古代經(jīng)典“抬腿法”。對于四年級的學(xué)生而言，畫圖是“幼稚”的——四年級的學(xué)生已經(jīng)可以逐步擺脫具體的圖形，可以從抽象的數(shù)據(jù)進(jìn)行理解了，因此，倘若把“畫圖”作為一種主要的方法來教，顯然幼稚了點(diǎn)；列表是“傻傻”的——實(shí)踐證明，在教師沒提醒、要求或提供表格的前提下，學(xué)生一般不會按著順序一個一個列表來尋求答案，尤其不會從“0”開始思考（雞兔同籠，怎么可能沒有雞或兔），因此，列表顯得傻傻的，是不符合學(xué)生學(xué)習(xí)心理的方法；抬腿法是“怪怪”的——首先，這個方法一部分學(xué)生很難理解，其次，這不是“通法”，當(dāng)面對三輪車和自行車時(shí)，就很難實(shí)施了。如此看來，只剩下假設(shè)法了。所以筆者認(rèn)為，四年級時(shí)“雞兔同籠”教學(xué)的主要方法應(yīng)該是假設(shè)法。

問題二：假設(shè)法該如何教？

對“雞兔同籠”重點(diǎn)教假設(shè)法，是有質(zhì)疑的，尤其是在四年級。因?yàn)樵S多學(xué)生面對假設(shè)法中的那一串算式，往往很難真正理解，更重要的是總會有一些學(xué)生到下課都不能理解，許多時(shí)候一節(jié)課下來，目標(biāo)的達(dá)成度是偏低的。那么，如何教假設(shè)法就成了擺在我們面前的現(xiàn)實(shí)問題。對此，筆者認(rèn)為需要關(guān)注兩點(diǎn)：一是假設(shè)法的本質(zhì)是什么？二是學(xué)生面對假設(shè)法難理解的地方在哪里？厘清這兩個問題，也就厘清了假設(shè)法在課堂上的實(shí)施路徑。

當(dāng)我們把一個數(shù)據(jù)較小的典型“雞兔同籠”問題給學(xué)生，如“6個頭、16只腳”，絕大部分學(xué)生通過獨(dú)立思考會得出答案。他們的方法中，較為普遍的一類是：先任意猜一個，如果沒對，調(diào)整一下再猜一個。因?yàn)閿?shù)據(jù)較小，沒幾次就能猜對。很明顯，“猜”本身就是一種假設(shè)。我們所謂的“假設(shè)法”，無非是猜了一種極端情況（全部是雞或兔）。現(xiàn)在的問題是“沒猜對怎么辦？”假設(shè)法中極端的猜，顯然不能猜對，然后做的事情是調(diào)整。學(xué)生任意猜，沒猜對，接下來也是調(diào)整，直到正確為止。至此，可以看出假設(shè)法的本質(zhì)：猜——調(diào)整。這也就成了假設(shè)法教學(xué)的重點(diǎn)。

問題三：假設(shè)法中學(xué)生難理解的地方在哪里？

多次實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生第一次猜好后，接下來的調(diào)整有差異。低級水平：猜好后，不做分析，沒有方向的再任意猜一個；中級水平：猜好后，進(jìn)行分析，明確接下來雞、兔的增減方向，再猜；高級水平：猜好后，進(jìn)行分析，明確接下來雞、兔的增減方向，根據(jù)腳的數(shù)量關(guān)系，一次性調(diào)整到位。這里，高級水平其實(shí)就是我們所謂的“假設(shè)法”的做法。由此可見，第一次猜好后，“如何調(diào)整”是學(xué)生難理解的地方。

基于以上分析我認(rèn)為，就四年級學(xué)生而言，解“雞兔同籠”方法的本質(zhì)可以理解為“猜——調(diào)整”，重點(diǎn)是“沒猜對——怎么調(diào)整”，難點(diǎn)是“能不能一次調(diào)整到位”。這是一種樸實(shí)的方法，也是一種通用的方法。

基于以上思辨，筆者就“雞兔同籠”一課，制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

1.認(rèn)識“雞兔同籠”，理解“猜——調(diào)整”解決問題的方法，并能進(jìn)行簡單運(yùn)用。

2.經(jīng)歷嘗試、對比、分析等學(xué)習(xí)過程，發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力。

3.感受數(shù)學(xué)的趣味性和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

【過程設(shè)計(jì)】

一、認(rèn)識“雞兔同籠”，理解“雞兔互換”規(guī)律

1.課件呈現(xiàn)問題：雞兔同籠,從上面數(shù)，有5個頭。 猜一猜，可能有幾只雞？幾只兔？

2.根據(jù)學(xué)生回答，依次板書出雞、兔數(shù)量，按順序排列（如圖所示）。

3.追問這些情況下腳一共有幾只，怎么算的。根據(jù)學(xué)生回答，依次板書出各種情況下腳的數(shù)量（如圖所示）。

4.對比發(fā)現(xiàn)規(guī)律：增加1只雞，減少1只兔，腳的數(shù)量減少2（反之腳的數(shù)量增加2）。結(jié)合板書（畫圖：展現(xiàn)添上2只腳和去掉2只腳的過程），直觀理解這個道理，最終歸結(jié)為：把1只兔換成1只雞，腳減少2；把1只雞換成1只兔，腳增加2。

【設(shè)計(jì)意圖：通過這個環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生感悟到1只雞與1只兔進(jìn)行交換，腳的總數(shù)量會相差2，并直觀理解“相差2”是怎么發(fā)生的。由此，將畫圖法作為一種輔助理解的方法進(jìn)行合理使用。】

二、初識“猜—調(diào)整”，嘗試運(yùn)用方法

1.課件呈現(xiàn)問題：雞兔同籠,從上面數(shù)，有6個頭。猜一猜，可能有幾只雞？幾只兔？

2.學(xué)生猜一種情況，教師板書學(xué)生猜的情況（例如2只雞，4只兔），并計(jì)算出腳的數(shù)量（20）。

3.教師告之正確的腳數(shù)量（一般根據(jù)學(xué)生猜的那種情況的腳數(shù)量，增加2或者減少2即可，此處以腳數(shù)“22”為例），發(fā)現(xiàn)沒有猜對。追問：你能不能根據(jù)現(xiàn)在猜的情況，很快知道雞和兔正確應(yīng)該是幾只嗎？

4.學(xué)生觀察思考，結(jié)合前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，通過一次調(diào)換，得到正確的結(jié)果。教師根據(jù)學(xué)生回答，結(jié)合板書直觀理解：腳要增加，兔要增加；腳要增加2，要把1只雞換成1只兔。

5.回顧方法：先任意猜一個，如果沒猜對，可以根據(jù)腳的數(shù)量進(jìn)行調(diào)整（板書：猜—調(diào)整）。

6.改變腳的數(shù)量，學(xué)生自己調(diào)整：把黑板上的正確腳數(shù)“22”改成“16”。

（1）請學(xué)生學(xué)著板書的樣子寫一寫，并獨(dú)立調(diào)整出正確的結(jié)果。

（2）反饋學(xué)生的調(diào)整。

水平一：1只1只調(diào)整（這種方法同樣予以肯定）。

水平二：一次性調(diào)整到位，重點(diǎn)理解“4÷2=2”的道理。

【設(shè)計(jì)意圖：這個環(huán)節(jié)是教學(xué)的重點(diǎn)，要讓學(xué)生初步認(rèn)識“猜—調(diào)整”的方法。這里不必強(qiáng)求學(xué)生一定要掌握“一次性調(diào)整到位”的方法，而是只要學(xué)生能感受到“猜”也能解決問題，并且允許學(xué)生1只1只調(diào)整。同時(shí)，在學(xué)生獨(dú)立調(diào)整的過程中，熟悉“圖式化”的書寫方式。】

三、運(yùn)用“猜—調(diào)整”，加深對方法的理解

1.課件呈現(xiàn)問題：雞兔同籠,從上面數(shù)，有12個頭，從下面數(shù)，有30只腳。則籠子里有幾只雞？幾只兔？

2.簡單回顧“猜—調(diào)整”的方法，然后請學(xué)生獨(dú)立解決問題。

3.反饋學(xué)生的方法。

方法一：先任意猜一個，然后幾次調(diào)整找到答案。

請學(xué)生解釋自己的思考過程，這樣的方法，重點(diǎn)說明第一次猜好后該往哪個方向調(diào)整。

方法二：先任意猜一個，然后一次調(diào)整找到答案。

請學(xué)生解釋自己的思考過程，這樣的方法，重點(diǎn)說明如何一下子知道要調(diào)整幾次。這里，根據(jù)學(xué)生第一次猜的情況不一樣，可多反饋幾個，加深對“一次性調(diào)整到位”的理解。

方法三：假設(shè)全是雞或全是兔。

（1）展示學(xué)生的算式（或?qū)懙胶诎迳希?/p>

（2）請學(xué)生介紹自己的方法。

（3）思考：他這樣的方法與我們剛才的方法有聯(lián)系嗎？（看情況可請學(xué)生再解釋一遍）

（4）結(jié)合上面的思考，引領(lǐng)全班學(xué)生依次理解每個算式的意思（黑板上配合圖示）。

解釋第一步：全部猜成雞或兔，計(jì)算出腳的總量。

解釋第二步：與正確腳數(shù)量進(jìn)行比較，得出腳多了或少了的數(shù)量。

解釋第三步：根據(jù)換一次相差2只腳，得出應(yīng)該換幾次。

（5）將其納入“猜——調(diào)整”方法的范疇，認(rèn)識到這只是一種猜的比較特殊的方法，全部猜成雞或兔。

【設(shè)計(jì)意圖：在這個環(huán)節(jié)，重點(diǎn)放在猜好以后如何調(diào)整的教學(xué)上，并將一般意義上的“假設(shè)法”納入其中，一方面使本來就會“假設(shè)法”的學(xué)生有一個展示的機(jī)會，同時(shí)也使大家理解了這種方法的本質(zhì)就是“猜—調(diào)整”。】

三、多層次練習(xí)，鞏固方法

1.專項(xiàng)練習(xí)。

課件出示：雞兔同籠,從上面數(shù)，有16個頭。從下面數(shù)，有40只腳。雞有幾只？兔有幾只？

小明猜：雞可能有8只，兔也可能有8只。

（1）他猜得對嗎？

（2）你能幫他調(diào)整嗎？

2.基礎(chǔ)練習(xí)。

（1）先出示《孫子算經(jīng)》中的問題（如圖所示），解釋其意義，再用現(xiàn)代形式表述。

（2）請學(xué)生獨(dú)立解決。

（3）反饋：重點(diǎn)說清先怎么猜，然后怎么調(diào)整。

3.方法推廣。

（1）先出示問題（如圖所示），理解題意。

（2）請學(xué)生獨(dú)立解決。

（3）反饋：重點(diǎn)在方法推廣與模型建立。

【設(shè)計(jì)意圖：通過三個層次的練習(xí)，旨在鞏固學(xué)生對于本課核心方法“猜—調(diào)整”的理解和掌握。在練習(xí)一和練習(xí)二的教學(xué)中，可適當(dāng)滲透“第一次如何猜”的教學(xué)，即先各猜一半。練習(xí)三重點(diǎn)在模型的建立。】

【課后思考】

通過對不同地方（城鎮(zhèn)、農(nóng)村等）學(xué)校學(xué)生調(diào)查發(fā)現(xiàn)，就“雞兔同籠”解題方法而言，學(xué)生的課前知曉率差異是明顯的。有的班級“假設(shè)法”的知曉率在10%左右，也有知曉率高于50%的班級。面對這樣的現(xiàn)狀，我們更加堅(jiān)信“猜——調(diào)整”這種方法的普適性。因?yàn)椋覀兊慕逃鎸Φ氖撬械膶W(xué)生。他們經(jīng)歷了40分鐘，帶著樸實(shí)的“猜”走出課堂，何嘗不是一種成功。

四年級的學(xué)生，從不將“猜”看作是一種方法的存在。有一次，老師問學(xué)生“猜”這種方法怎么樣？學(xué)生都表示這種方法水平太低了。讓學(xué)生猜，學(xué)生竟然不敢猜。是呀！在他們之前的學(xué)習(xí)中，都是通過嚴(yán)密的計(jì)算來尋求問題答案的。當(dāng)然，本課的“猜”有別于一般意義上的“猜”，其本質(zhì)是一種假設(shè)，這對四年級的學(xué)生來說，在認(rèn)知上是一次飛躍。