關于重心基準的坐標轉換方法研究

喻國榮,馮國鑫,張建

(東南大學 交通學院測繪工程系,江蘇 南京 210096)

0　引　言

城市與工程測量成果常常采用地方坐標系或獨立坐標系,不論是將GNSS等現代測量技術得到的測量數據轉換為該坐標系中,還是將該工程測量成果納入到國家系統中,都需要進行坐標轉換。根據需要可選擇二維的平面四參數轉換模型或三維七參數轉換模型,不論哪種模型都無法回避轉換模型中平移參數與旋轉參數及尺度參數之間的強相關問題[1-3],影響了結果的可靠性。針對于此,產生了坐標重心化方法以及極坐標方法等[3-6],本文對此展開討論。

1　坐標轉換的重心化方法

坐標轉換是依據兩坐標系下公共點點位坐標得到的轉換參數來實現,將B坐標系的坐標轉換到A坐標系中的數學模型為

(1)

式中: X(A)P、Y(A)P是公共點P在坐標系A中的坐標; X(B)P、Y(B)P是公共點P在坐標系B中的坐標; X0、Y0稱為平移參數; α稱為旋轉參數； λ稱為尺度參數。式(1)對參數α和λ來說是非線性的,通常采用形式參數將式(1)轉換為線性方程,即取a=X0,b=Y0,c=λcosα,d=λsinα,則有

(2)

為了計算轉換參數,至少需要兩個公共點。實際工作中,為了保證可靠性,通常要聯測三個以上公共點。當有n(n>2)個公共點時,一般采用最小二乘求解轉換參數。設公共點的點位誤差相互獨立且等精度,則最小二乘法得到的法方程為

Nβ=W,

(3)

式中:

N=

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(4)

(5)

(6)于是

(7)

由于平移(坐標重心化)不改變點位的相對關系,即尺度參數與旋轉參數是不變的,式(6)中c、d與式(2)相同。可求得尺度參數與旋轉參數為

(8)

(9)

平移參數為

(10)

2　坐標轉換的討論

為討論方便,將由式(3)的解算稱為常規四參數方法,由式(6)的解算稱為重心化方法。

1) 方法的等價性

旋轉角α一般很小,公共點的空間坐標通常在數值上首位不變,對于較小的測區,空間坐標的前幾位數字都一樣,即幾乎相等,坐標重心化相當于將坐標系的原點平移到的點集的重心,一方面使得坐標的數值變得更小,另一方面的優點是法方程矩陣變成了對角陣。這兩個優點都使得數值計算變得容易和精確,并不是重心化方法在理論上優于常規四參數法,兩種方法都是基于最小二乘原理的,理論基礎是統一的、等價的。

2) 參數的相關性

3) 重心不變性

4) 極坐標法

3　算例及分析

為了更好地進行數據分析,設有坐標集如表1所示,坐標系A的坐標是由B坐標系坐標采用參數(abλα)T=(60 m 50 m 9 999.5×10-45")T獲得。由于只保留到小數點后三位,即毫米位,相當于坐標系A的坐標存在-0.5 mm到0.5 mm均勻分布的誤差。

表1　公共點坐標

對坐標系A的坐標施加N(0, 25 mm2)的正態分布誤差,以“1、2、3、4”點計算,以“5、6”點作為檢查點,計算結果如表2所示。由表2可以看出,四參數方法與重心化方法得到的結果基本相同,其數值差異出現在10-4～10-5量級,可以忽略不計。參數精度及檢查點精度與用于計算轉換參數的點集的數據精度相當,檢查點誤差在毫米位相同,差異出現在1/10～1/100 mm位;現代計算技術(計算設備)的進步彌補了四參數方法數值計算的不足;極坐標方法與兩種方法存在差異。

為了進一步分析數據精度對轉換參數的影響,將坐標系A的坐標施加N(0, 25 cm2)的正態分布誤差,相當于坐標系A的坐標受到中誤差為σ=5 cm正態分布誤差影響,計算結果如表2所示。

表2　不同坐標轉換方法比較

由表2可以看出,當點位精度在厘米級時,四參數方法與重心化方法結果仍基本相同,得到的參數與真值有顯著差異,極坐標方法得到的參數受點位誤差影響較顯著。

當重心化坐標值較小,即點位距“重心”很近時,由于求邊長比、求方位角運算對誤差非常敏感,即一個微小的誤差也引起邊長比、方位角的明顯變化。比如應用“1、2、3、4、5”點計算參數,以“6”點作為檢查點,數據精度σ=5 cm的情形,四參數方法與重心化方法精度在厘米級,而極坐標方法“6”點的誤差X=10 cm,Y=14 cm.由于點“4”距“重心”僅263 m,數據精度對邊長比、方位角影響劇烈,使得極坐標方法求轉換參數幾乎沒有應用價值。

4　結束語

本文通過給定參數“真值”模擬兩個坐標系統的數據,對坐標轉換的四參數方法、重心化方法與極坐標方法進行了對比分析,可得出如下結論:

1) 各種方法得到的參數雖然與“真值”差異明顯,由于參數之間的耦合效果,坐標轉換的結果仍然能保持相應的精度。

2) 四參數方法與重心化方法僅數值計算的策略不同,得到的結果基本相同,與用于計算轉換參數的點集的數據精度相當。

3) 不建議使用簡單方便的極坐標方法,尤其在點位精度不明確,且會有短邊參與計算的情形。

[1]王解先. 七參數轉換中參數之間的相關性[J].大地測量與地球動力學,2007,27(2):43-46.

[2]張飛,王建強,羅寒. 七參數坐標轉換模型的比較分析[J]. 測繪與空間地理信息,2016,39 (5):48-51.

[3]杜蘭,張捍衛,周慶勇, 等. 坐標轉換參數之間的相關性解析[J]. 大地測量與地球動力學, 2011, 31(1):59-62.

[4]文學. 基于重心坐標基準的平面坐標系統轉換方法[J]. 地理空間信息,2014,12(2):132-133,135.

[5]劉陶勝,黃聲享,羅力, 等. 基于重心基準的平面坐標轉換研究[J]. 大地測量與地球動力學,2011,31(2):102-106.

[6]范方標. 基于重心基準的平面坐標轉換全球定位系統[J]. 2015,40(1):79-81,85.