移動最小二乘法在高程異常擬合中的應用

周平紅,李志福

(1.廣東環境保護工程職業學院,廣東 佛山 528216;2.佛山市測繪地理信息研究院,廣東 佛山 528000)

0　引　言

GPS測量得到的是大地高,需要轉換成正常高,才能應用于工程中。當測區范圍較小或者工程精度要求不太高時,可以采用數學模型擬合高程異常,從而得到我們需要的正常高。除物理大地測量方法以外,常用的高程異常擬合方法有多項式曲線、曲面擬合,樣條函數擬合、多面函數擬合等方法。這些擬合方法是使用最小二乘進行求解。移動最小二乘法是Lancaster等在研究曲面擬合時對標準的最小二乘形式進行了推廣[1]。近年來移動最小二乘法在點云數據處理、圖像處理等方面得到了廣泛應用[2-3]。本文將移動最小二乘(Moving-Least)應用到高程異常擬合中,擬合精度較常規方法有所提高。

1　移動最小二乘法

相對傳統的最小二乘法,移動最小二乘法(MLS)有所不同,它引入緊支概念,認為某點的函數值僅跟它影響范圍內點的坐標值有關,每個函數值有一個影響域,影響域外的點對該函數值無影響。在影響區域內定義了一個非常數的權函數w(x),當該權函數為常數時,就變成傳統的最小二乘法。此外,MLS在擬合函數的建立上也有所不同,在一個局部子域上,擬合函數由向量a(x)和基函數p(x)構成,而a(x)是坐標X的函數[4],即

(1)

式中:α(x)=[a1(x)a2(x) …am(x)]T為待求系數。它是坐標X的函數。p(x)=[p1(x)p2(x) …pm(x)]T稱為基函數,它是k階完備的多項式,m是基函數的項數。曲線擬合時,p(x)可以取線性基或二次基, 線性基p(x)=[1,x]T,m=2 二次基p(x)=[1,x,x2]T,m=3

曲面擬合時,p(x)可以取線性基或二次基,線性基p(x)=[1,x,y]T,m=3 二次基p(x)=[1,x,y,x2xy,y2]T,m=6

式中:n為影響區域節點的數目;ζi為ζ(x)在xi處的值。w(x-xi)是節點xi的權函數。

為確定系數,對該函數求偏導:

(2)

α(x)=A-1(x)B(x)ζ.

(3)

B(x)=[w(x-x1)p(x1),w(x-x2)p(x2),…,w(x-xn)p(xn)].ζ=[ζ1,ζ2,…,ζn]T

2　權函數的選擇與影響半徑的確定

在MLS擬合中權函數發揮著重要作用。作為權函數,它的值要求非負且由計算點向外呈單調遞減直至在某一范圍即影響半徑之外取零值,同時權函數應具有一定階次的連續可導性從而保證形函數也能近似解連續可導。權函數的形式包括三次樣條函數、四次樣條函數、高斯函數等。常用的是三次樣條函數[4]。

聯系人: 周平紅 E-mail:709303555@ qq.com

(4)

應用MLS進行擬合,最大的難點是影響半徑的確定。當點分布均勻時,已有學者研究出半徑確定的方法[5],但當點分布不均勻時,如何取值還沒有成熟的理論。本文提出“固定點數法”來確定影響半徑R,即根據選取的基函數不同,確定影響區域所需要的最少點數N[5],則影響區域為以待求點M為圓心,包含(N+D)個點的圓。通過數據驗算,綜合考慮影響區域的局部性和A(x)可逆,D

取1較合適。為避免矩陣A(x)病態,點M的影響半徑宜取到點M距離由近及遠的第(N+2)個點的距離,如圖1所示。

3　MLS在高程異常擬合中的應用

3.1　實例1:

某帶狀工程[6],高程異常最大較差為0.557 m。點位分布如圖2所示,坐標及高程異常如表1所示。

表1　某帶狀工程點位坐標及高程異常 單位:m

1) 選取點11,28,35,40,19,7,43,44,15,32,42,26,17共13個點,作為建模數據,點21,23,41,38,39,33,34,13,25,39,29,30,共12個點作為檢核點。

為提高擬合精度,選取曲線擬合中的二次基作為基函數,即p(x)=[1,x,x2]T,m=3,此時N=3.分別取影響區域內節點數(不含邊界)C為4,5,6,7進行計算,結果如表2所示。

表2　不同節點數擬合精度比較

從表2看出,檢核點的精度并沒有隨著影響區域內節點數的增加而提高。考慮到影響區域的局部性,線性擬合時,MLS影響區域內節點數取4,半徑取待求點到第5個點的距離。

2) 為研究MLS曲線擬合的精度,將其與直線擬合、三次多項式擬合、樣條曲線擬合三種擬合模型[7-8]進行比較,結果如表3所示。

從表3中看出,1) 各模型擬合效果均不是很好,均在厘米級,這主要是由于該工程已知點的分布較不均勻。2) 隨著建模點個數的增加,擬合精度有所提高,但提高到一定程度,建模點個數對擬合精度的影響降低。3) 因該工程為線狀工程,使

用MLS擬合時,影響域的點僅分布在待求點的兩側,擬合精度一般,與其他模型比較,優勢不是很明顯。但擬合精度相對較穩定。

表3　各模型精度比較 單位:m

3.2　實例2

某面狀工程GNSS水準點共40個,區域面積約300 km2,最大最小高程異常較差為1.068 m,坐標如表4所示。

表4　某面狀工程水準點坐標表 單位:m

點號X坐標Y坐標高程異常點號X坐標Y坐標高程異常1425523545505991.7153425557255428101.3241525535545496351.6533525504555301971.0251625489755509571.7693625492545310191.0671725504295475151.6393725508545316401.0481825475545467671.6673825515005410171.4051925555375462891.5133925604555437131.2632025514905419691.414025495335321901.106

1) 選擇2,5,7,9,13,16,18,23,24,29,30,32,35,38,11,34共16個點作為建模點,1,3,4,6,8,12,14,15,17,19,20,21,22,25,26,27,28,31,36,37,39,40共22個點作為檢核點。應用“固定點數法”,采用曲面擬合的二次基作為基函數。影響半徑內的節點數(不含邊界)分別取7,8,9,10進行計算,結果如表5所示。

表5　不同節點數擬合精度比較 單位:m

表5數據顯示,高程異常的擬合精度并沒有隨著影響范圍內節點數的增加而提高,為了突出局部性,取影響范圍內的節點數為七個較合適,則影響半徑為該點到第八個點的距離。

2) 為研究MLS曲面擬合的精度,將其與平面擬合、二次曲面擬合、多面函數擬合三種擬合模型[9-11]進行比較。

① 分別按分布均勻、不均勻來選取其中16個點作為建模點,其余的22個點作為檢核點。檢核點擬合較差如圖3所示。

由圖3所示:隨著建模數據均勻度的降低,各模型擬合精度均下降。相對來說,MLS擬合精度較穩定。

② 分別按表6三種方案選取建模點和檢核點。

表6　選點方案

檢核點擬合較差如圖4,圖5,圖6所示。

從圖4、圖5、圖6中看出,當擬合區域較大,高程異常起伏較大時,平面擬合和二次曲面擬合精度已經不能滿足工程要求。相對來說,應用MLS進行高程異常擬合優勢明顯,精度高于其他模型。

4　結束語

將移動最小二乘法應用在高程異常擬合中具有最小二乘法不具有的優勢。通過上述兩個實例中的線狀工程和面狀工程驗算,顯示當擬合區域成面狀分布,尤其是區域面積較大時,MLS優勢更加明顯,它無需分塊擬合,但精度仍較好。MLS最重要的是權函數和影響半徑的確定,權函數建議使用三次樣條函數,擬合效果較好。影響半徑可以采用“固定點數法”。為了使整個區域的精度均勻,選取已知點(建模點)時應盡量分布均勻,且最外圍點應選取,以避免精度外推。

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