一道數列題求通項的思考探究

■浙江省天臺中學高二(15)班　何秉烜(指導教師:徐 鳳)

有一類數列試題,是需要求通項公式的,課本只是在作業里提了一下,意思是不作高要求。其實,高考中這類題十分重要,經常考到。如2014年高考數學全國新課標Ⅱ卷理科第17題就是一道數列與不等式的常規題,該題主要考查等比數列的定義、數列通項公式的求解以及數列中不等式的證明等基礎知識。原題如下:

原題 已知數列an{}滿足a1=1,an+1=3an+1。

證明{an+}是等比數列,并求{an}的通項公式。

下面進行探究。

證法1：(構造法) 由an+1=3an+1得

證法3：(歸納猜想法)由已知得:

……

這里的證明用數學歸納法就行。

評析：上述證法1是參考答案提供的原證法,這種證法的第一步“由an+1=3an+1是利用“添項法”完成的,對一般同學來說,通常會遇到兩個問題:一是為什么要添項?二是添什么項?這兩個問題容易導致有些同學思維障礙的形成。雖然在平時的數學學習中,老師也講過這種類型的遞推數列通項公式的求法,但是,因為有些同學對這兩個問題較難理解,再加上這種“添項法”又具有一定的技巧性,所以這種證法很多同學容易出錯。證法2則緊扣等比數列的定義,按照求路,利用“代入法”,將條件“an+1=3an+1”代3”變得自然、優美,而且貼近我們的思維。因此,證法2優于證法1。證法3從求數列{an+}的通項公式入手,首先想到了歸納猜想法,這種方法是一種習慣性的常規思維,符合多數同學的實際,雖然過程復雜了一些,但卻是可行和有效的。

二、關于an{　}的通項公式的求法

原題將“求{an}的通項公式”放到了“證明{an+}是等比數列”之后,這里邊明顯存在著一種暗示,就是先求{an+}的通項公式,然后從中可以得出{an}的通項公式,于是就有:

受證法1的啟發,可得:

解法2：由an+1=3an+1得2an+1=6an+2,兩邊同時加上1,得:

2an+1+1=6an+3=3(2an+1)。

所以{2an+1}是首項為2a1+1=3,公比為3的等比數列,于是得2an+1=3×3n-1,整理得

解法3:由已知得:

a1=1,

a2=3a1+1=3+1,

a3=3a2+1=32+3+1,

……

猜想:an=3n-1+3n-2+…+32+3+1。②

將②式右邊求解,得:

評析：將上述證法3和解法3這兩種歸納猜想法比較可以發現,前者通過歸納猜想法得到①式很容易,但是后者如果將前3項寫成:a1=1,a2=4,a3=13,那么就發現不了各項之間的規律,使歸納猜想法陷入困境。相反,解法3正是注意到了這一危險境地,巧妙地避險排難,采取將前3項中的各個加法項擱置起來,使各項之間的規律性得以充分彰顯,從而讓②式順利浮出水面。