為數學點贊
——名師例析數學文化（2）微積分篇

■北京市第十二中學高中部　高慧明

■北京市教育學院豐臺分院　張 琦

本刊特邀欄目專家簡介:

高慧明 首屆全國十佳班主任,全國著名數學特級教師,國家教育部課程改革“全國先進工作者”,全國著名高考數學命題與考試研究專家,國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓、班主任培訓、校長培訓特邀主講專家,受邀在全國各地做有關高考科學備考、班級管理等多場專題報告。現任教于北京市第十二中學高中部。

《普通高中數學課程標準(征求意見稿)》(2016)在《選修Ⅰ課程》中《一元函數導數及應用》這一章明確要求同學們要“收集對微積分的創立和發展起重大作用的有關資料,包括一些重要歷史人物(牛頓、萊布尼茨、柯西、魏爾斯特拉斯等)和事件,采取獨立的方式或者小組合作的方式,完成一篇有關微積分創立與發展的研究報告”。

微積分基本可以看作初等數學和高等數學的分水嶺,它充分體現了人類抽象思維的魅力和強大。那么接下來我們就來看看微積分的發展簡史吧。

一、微積分思想的萌芽

有人曾指出,自然科學史上以令人驚嘆的創造性方式工作的三大科學巨匠是古希臘的阿基米德(Archimedes)、17世紀英國的牛頓(Newton)和20世紀德國的愛因斯坦(Einstein)。根據1906年重新發現的阿基米德羊皮卷古抄本,早在公元前200多年,阿基米德就已經將積分想法廣泛應用于處理圖形的面積、物體體積等問題。我們可以認為阿基米德已經掌握了我們后世稱之為積分學的精髓。

我們來看看阿基米德如何使用“窮竭法”求拋物線面積的(《拋物線求積》命題24)。他的證明如下:

如圖1,C是弓形ACB的頂點,以△ABC的兩邊AC和BC為新的底截弓形,得頂點D和E,阿基米德在引理中從幾何上證明了新增的面積為△ABC面積的。繼續使用AD,DC,CE,EB為新的底來截弓形,依此類推,阿基米德指出后一次新增面積是前一次新增面積an,來代表這些面積,其中最大面積a1等于m(S△ABC)。隨著n的增大,多邊形面積將越來越接近弓形的面積。阿基米德經過巧妙的代,其中Sn表示前n項面積的和,也即弓形的內接多邊形的面積。經過數學處理,阿基米德算得弓形面積等于

圖1

在上述使用“窮竭法”證明的過程中,阿基米德清楚地向我們展示了處理此類問題的微積分思想,即先將不可求量拆成小的可求量(微分思想),再將這些小量累加求和(積分思想)。

二、微積分思想產生的時代背景

16、17世紀,科學急速發展。此時初等數學已不能滿足社會的需要,在這一階段中,許多科學問題亟待解決,這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來,大約有四種主要類型:第一類是研究運動的時候直接出現的瞬時速度問題;第二類是求曲線的切線的問題;第三類是函數的最大值和最小值問題;第四類是曲線圍成圖形的面積、曲面圍成幾何體的體積等問題。

三、微積分的產生與發展

一般認為,英國科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨(Leibniz)分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作。他們的功績主要在于:

1.把各種問題的解法統一成一種方法,微分法和積分法;

2.有明確的計算微分法的步驟;

3.證明了微分和積分互為逆運算。

牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋,他的第一個微積分短評是于1669年在《運用無限多項方程的分析學》里給出的。在這部專著里他運用了無窮小量,并通過二項式定理擴展了其適用性。在這篇論文中,牛頓運用了一個無窮小矩形或者面積“瞬”的概念,并且發現了曲線的面積。在這本書里,牛頓介紹了他特有的符號和概念。牛頓把變化率稱為流數,用字母上加點的“標記字母”表示;他稱變化的量為流量。牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統一為兩類普遍的算法——正、反流數術亦即微分與積分,并證明了二者的互逆關系進而將這兩類運算逐步統一成一個整體。1687年牛頓發表了他的具有劃時代意義的科學名著《自然哲學的數學原理》,流數術(即微積分)是其三大發現之一。

相比于牛頓的工作,萊布尼茨的創造性工作的數學特征更加明顯。1675-1676年間,他從求曲邊形面積出發得到積分的概念。1684年萊布尼茨發表了數學史上第一篇正式的微積分文獻《一種求極限值和切線的新方法》。這篇文獻是他自1673年以來對微積分研究的概括與成果,其中敘述了微分學的基本原理,認為函數的無限小增量是自變量無限小變化的結果,且把這個函數的增量叫作微分,用字母d表示,并得到廣泛使用。還給出了和、差、積、商及冪的微分法則。同時包括了微分法在求切線、極大值、極小值及拐點方面的應用。兩年后,他又發表了一篇積分學論文《深奧的幾何與不變量及其無限的分析》,其中首次使用積分符號“∫”,初步論述了積分問題與微分求切線問題是互逆問題。這就是今天大家熟知的牛頓-萊布尼茨公式(x)dx=F(b)-F(a),為我們勾畫了微積分學的基本雛形和發展藍圖。

牛頓建立微積分是從運動學的觀點出發,而萊布尼茨茨則從幾何學的角度去考慮,所創設的微積分符號遠遠優于牛頓的符號,并有效地促進了微積分學的發展,萊布尼茨第一個表達出微分和積分之間的互逆關系。將微分和積分統一起來,是微積分理論得以建立的一個重要標志。

四、微積分與第二次數學危機

由于運算的完整性和應用范圍的廣泛性,微積分成為了解決問題的重要工具。同時關于微積分基礎的問題也越來越嚴重。以求速度為例,瞬時速度是當Δt趨向于零時的值。但是Δt是零,是很小的量,還是什么東西?這個無窮小量究竟是不是零?這引起了極大的爭論,引起了學界對微積分基礎的質疑,從而引發了第二次數學危機。

由于數學家成功地用微積分解決了許多實際問題,因此有些人就對這些基礎問題的討論不感興趣。如達朗貝爾(JeanleRond d'Alembert)就說,現在是“把房子蓋得更高些,而不是把基礎打得更加牢固”。

五、第二次數學危機的慷慨贈與

微積分的嚴格化工作經過近一個世紀的嘗試,到19世紀初已開始顯現成效。對分析的嚴密性真正有影響的先驅則是偉大的法國數學家柯西(Cauchy)。柯西在數學上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念,并以極限為基礎建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發展史上的精華,也是柯西對人類科學發展所做的巨大貢獻。與此同時,柯西還在此基礎上創建了復變函數的微積分理論。

柯西對定積分作了最系統的開創性工作,他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運算之前,強調必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴格證明了微積分基本定理。柯西關于分析基礎的最具代表性的著作是他的《分析教程》(1821)、《無窮小計算教程》(1823)以及《微分計算教程》(1829),它們以分析的嚴格化為目標,對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義,在此基礎上,柯西嚴格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理,定義了級數的收斂性,研究了級數收斂的條件等,他的許多定義和論述已經非常接近于微積分的現代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了在微積分基礎問題上長期存在的混亂,向分析的全面嚴格化邁出了關鍵的一步。