定積分要的導學

■河南省開封市第二十五中學　張 濤

定積分的計算是高考的必考內容,尤其是求平面圖形的面積,一直是近幾年高考命題的熱點。那么定積分究竟有哪些內容呢?我們一起來學習一下。

一、知識要點梳理

1.定積分的概念

一般地,如果函數f(x)在區間[a,b]上連續,用分點a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b將區間[a,b]等分成n個小區間,在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ξi(i=1,2,中Δx為小區間長度),當n→∞時,上述和式無限接近某個常數,這個常數叫作函數f(x)在區間[a,b]上的定積分,記作f(x)dx,即分別叫作積分下限與積分上限,區間[a,b]叫作積分區間,函數f(x)叫作被積函數,x叫作積分變量,f(x)dx叫作被積式。

2.定積分的幾何意義

從幾何上看,如果在區間[a,b]上函數f(x)連續且恒有f(x)≥0,那么定積分f(x)dx表示由直線x=a,x=b(a≠b),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。這就是定積分(x)dx的幾何意義。

3.定積分的性質

由定積分的定義,可以得到定積分的如下性質:

4.微積分基本定理

一般地,如果f(x)是區間[a,b]上的連續函數,并且F'(x)=f(x),那么(x)dx=F(b)-F(a)。這個結論叫作微積分基本定理,又叫作牛頓-萊布尼茨公式。

5.定積分在幾何中的應用

定積分在幾何中的應用主要是計算由兩條曲線所圍圖形的面積。依照曲邊梯形面積的求法,我們可以將求兩條曲線所圍圖形的面積問題轉化為求兩個曲邊梯形的面積問題,進而用定積分求出面積。

6.定積分在物理中的應用

①變速直線運動的路程:我們知道,做變速直線運動的物體所經過的路程s,等于其速度函數v=v(t)(v(t)≥0)在時間區間[a,b]上的定積分,即s=(t)dt。

②變力做功:已知某物體在變力F(x)的作用下做直線運動,并且該物體沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b(b＞a),求變力F(x)所做的功W,與求曲邊梯形的面積及求變速直線運動的路程一樣,可用“四步驟”,即分割、近似代替、求和、取極限來解決,得到W=F(x)dx。

二、學習重點須知

學習重點主要包括定積分的幾何意義,定積分的基本性質,運用微積分基本定理計算定積分,定積分的應用。

重點1：利用定積分的幾何意義計算定積分

利用定積分的幾何意義求:

圖1

圖2

點評:(1)利用定積分的幾何意義求解時,常見的平面圖形的形狀是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形。(2)設函數f(x)在閉區間[-a,a]上連續,則若f(x)是偶函數,則f(x)dx=f(x)dx;若f(x)是奇函數,則f(x)dx=0。

(1)由曲線xy=1,直線y=x,x=3所圍成的封閉平面圖形的面積為()。

(2)如圖3,在邊長為e(e為自然對數的底數)的正方形中隨機撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為。

解析：(1)由曲線xy=1,直線y=x,x=3所圍成的封閉的平面圖形,如圖4所示。

圖3

圖4

(2)因為函數y=ex與函數y=lnx互為反函數,其圖像關于直線y=x對稱,且函數y=ex與直線y=e的交點坐標為(1,e),所以陰影部分的面積為

點評:利用定積分求平面圖形面積的步驟:(1)根據題意畫出圖形;(2)借助圖形確定出被積函數,求出交點坐標,確定積分的上、下限;(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和;(4)計算定積分,寫出答案。

重點2：定積分在物理中的應用

(1)已知變速直線運動的方程,求在某段時間內物體運動的位移或者經過的路程,就是求速度關于時間的函數的定積分。

(2)利用定積分求變力做功的問題,關鍵是求出變力與位移之間的函數關系,確定好積分區間,得到積分表達式,再利用微積分基本定理計算即可。一物體在變力F(x)=(x的單位:m,F的單位:N)的作用下,沿著與力F相同的方向從x=0運動到x=5處,求變力所做的功。

解析：變力F(x)所做的功為:

=12+60=72(J)。

點評:(1)對于給出物體在變力作用下沿與力相同方向運動的變力做功問題,可直接用定積分求解,計算公式W=∫baf(x)dx。(2)注意必須將力與位移的單位換算為N與m,功的單位才為J。

三、學習難點突破

難點1：利用微積分基本定理求定積分

求函數f(x)在某個區間上的定積分時,要注意:

(1)掌握基本初等函數的導數以及導數的運算法則,正確求解被積函數的原函數。

(2)精確定位積分區間,分清積分下限與積分上限。

計算下列定積分:

點評:微積分基本定理揭示了導數與定積分之間的關系,即求定積分與求導互為逆運算,求定積分時只需找到被積函數的一個原函數。

難點2：定積分在幾何中的應用

對于簡單圖形的面積求解,我們可以直接運用定積分的幾何意義,應注意:(1)確定積分上、下限,一般為兩交點的橫坐標;(2)確定被積函數,一般是上曲線與下曲線對應函數的差。

這樣所求的面積問題就轉化為運用微積分基本定理計算定積分了。

求拋物線y2=8x(y＞0)與直線x+y-6=0及y=0所圍成圖形的面積。

圖5

點評:用定積分求較復雜的平面圖形的面積時,一要根據圖形確定把x還是y作為積分變量,同時,由曲線交點確定好積分上、下限;二要依據積分變量確定好被積函數,積分變量為x時,圍成平面圖形的上方曲線減去下方曲線為被積函數,積分變量為y時,圍成平面圖形的右方曲線減去左方曲線為被積函數;三要找準原函數。