例談立體幾何中平面法向量的求法

程琬婷

[摘要]高中數學把空間向量引入到立體幾何中，使幾何常規問題坐標化、符號化和數量化，將復雜的推理轉化為代數運算，從而降低了思維難度.探討平面法向量的求法有現實意義.

[關鍵詞]高中數學；立體幾何；平面法向量

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05002902

平面法向量的定義：如果n⊥α，那么向量n叫作平面α的法向量.

一、方程法

利用直線與平面垂直的判定定理構造三元一次方程組.但由于有三個未知數，兩個方程，所以要設定一個變量的值才能求解.要使法向量簡潔，設值可靈活（注意：取值不能取“0”），法向量有無數個，它們是共線向量，取一個就可以.

【例1】已知向量a、b是平面α內的兩個不共線的向量，

a=（1，2，3）

，

b=（2，1，-1）

，求平面α的一個法向量.

解析：設n=（x，y，z）為平面α的法向量，則由

n⊥a，n⊥b得

n·a=0

n·b=0

，

即

x+2y+3z=0

2x+y-z=0

，令z=1，則

x+3y=-3

2x+y=1，

∴

x=53

y=-73.

所以平面α的一個法向量為n=

53，-73，1

.

【例2】已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M分別是A1C1、A1D和B1A上任一點，求證：平面A1EF∥平面B1MC.

【證明】以點D為原點，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖1，則

A1C1=（-1，-1，0），

B1C=（-1，0，-1），

A1D=（1，0，1），

B1A=（0，-1，-1），

設A1E=λA1C1，

A1F=μA1D

，B1M=vB1A（λ、μ、v∈R

，且均不為0），

n1

=（x1，y1，z1）

、

n2

=（x2，y2，z2）

分別為平面A1EF與平面B1MC的法向量，

由

n1·A1E=0

n1·A1F=0

，可得

n1·λA1C1=0

n2·μA1D=0

，

即

n1·A1C1=0

n2·A1D=0

.

解之得n1=（1，1，-1）.

由

n2·B1M=0

n2·B1C=0

，可得

n2·vB1A=0

n2·B1C=0

，

即

n2·B1A=0

n2·B1C=0

，

解之得n2=（-1，1，-1）.

∴n1=-n2

，n1∥n2，∴平面

A1EF∥

平面B1MC.

二、行列式法

利用二階行列式：

M=

ab

cd

=ad-cb

（交叉相乘再相減）.

設向量a、b為空間中兩個不平行的非零向量，且a=（x1，y1，z1），

b=（x2，y2，z2）

，則平面α的法向量

n=

y1z1

y2z2

，

-

x1z1

x2z2

，

x1y1

x2y2

.

【技巧】首先把向量a、b的坐標豎方向對著寫，接著要求n的哪個軸的數據就在豎方向相應劃掉向量a、b哪個軸的數據，然后交叉相乘再相減.注意y取相反數.

【例3】如圖2，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=CD=12AB=1

，M是PB的中點.

證明：平面PAD⊥平面PCD.

解析：以A點為原點，分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，如圖3.則

A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）

.∴AP=（0，0，1）

，

DC=（0，1，0）

，AD=（1，0，0）

，DP=（-1，0，1）.

設m=（x1，y1，z1），

n=（x2，y2，z2）

分別為平面PAD與平面PCD的法向量，則由平面法向量速解法求得

m=（0-0，-（0-1），0-0）=（0，1，0）

，n=（1-0，-

（0-0），[0-（-1）]）=（1，0，1），

∴m·n=0

，

∴m⊥n

，即平面PAD⊥平面PCD.

圖4

【例4】已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1與平面ABCD所成的二面角的余弦值.

解析：以點D為原點，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系D-zyz，如圖4所示，則

D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）

.∴A1B=（0，1，-1）

，AD=（-1，0，0）

，A1C1=

（-1，1，0），

AC=（-1，1，0）

.

設

n1=（x1，y1，z1）、

n2=（x2，y2，z2）分別為平面A1BC1與平面ABCD的法向量，則

方法一：由

n1·A1B=0

n1·A1C1=0

及

n2·AD=0

n2·AC1=0

可解得

n1=（1，1，1）

n2=（0，0，1）.

方法二：

n1=（0-（-1），-[0-（-1）]）=（1，1，1），

n2=（0-0，-（0-0），-1-0）=（0，0，-1）=-（0，0，1），

∴

n1=（1，1，1）

n2=（0，0，1）

.∴cos=

n1·n2

|n1|·|n2|

=33

.

因此平面A1BC1與平面ABCD所成二面角的余弦值為33.

【點評】用法向量的夾角求二面角時應注意，平面的法向量有兩個相反的方向，取的方向不同，求出來的角度當然就不同，所以最后還應該根據這個二面角的實際形態確定其大小.

（責任編輯黃桂堅）