同一內容在不同教學階段的教學設計

蔣智東

[摘要]同一內容，根據其發生、發展及應用的不同階段，應有不同的教學設計來引導和促進學生的學習、理解和技能的形成.

[關鍵詞]教學設計；絕對值；函數；問題

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）05001703

絕對值是中學數學的一個重要概念，它既有代數形式，又有幾何背景.“含有|x-a|的一類函數問題”形式新穎、綜合性強、思維難度大，要求學生不僅能深刻理解題意，還必須具備較好的邏輯推理能力和充足的思想方法儲備.而這些要求不是一蹴而就的，它需要一個過程.需要經過兩輪的復習課教學，方可達到基礎知識的認知、基本方法的構建、基本思想的滲透，并在此基礎上完成一系列的應用的目標.

一、設計原則

1.教學目標的設定要有層次性

就“含有|x-a|的一類函數問題”，我們在第一輪、第二輪復習兩個階段組織不同教學目標的微專題教學.復習要循序漸進，按照第一輪復習注重知識網絡構建和基本方法構建，第二輪復習重應用和能力培養的原則進行整體設計.

2.例題的選擇要有發展性

（1）含有|x-a|的一類函數解析式要盡量全面，便于學生對這類函數的認知.如

f（x）=x2+|x-1|、f（x）=x|x-2|

等.同時，無論是依據定義去絕對值還是依據幾何意義去絕對值，都要有展示的空間.

（2）問題設計要盡量全面，便于學生對問題解決的基本方法感悟和提煉，便于學生在解決問題過程中思想方法的自然形成.

（3）問題的設計既要有利于學生獨立思考，又能促使學生探究交流.

（4）例題難度要遞進.

3.課后作業要有針對性

專題課的作業一定要有針對性，堅持講什么，練什么.例題中歸納總結出什么方法，作業中的題目就要用到什么方法.讓學生在鞏固中理解、體會、提高.

4.知識結構的把握要有整體性

同一內容要有一個整體的目標和要求.依據學生的學習能力和認知規律，在不同階段的教學中分層次逐步達成.不同階段的教學目標和要求要為總的目標和要求服務，是總目標中的有機組成部分，要有層次性和連續性.

二、具體內容

【第一輪復習】

（一）教學目標

1.通過對問題的呈現與思考，認知含有|x-a|的一類函數的本質，形成初步的知識網絡.

2.通過對問題的探索與解決，構建問題解決的基本思路與基本方法，培養學生解決此類問題的能力.

3.通過對問題的回顧與反思，體會分類討論與數形結合等數學思想方法的形成與應用，培養學生分析和解決問題的能力，提升學生的數學核心素養.

（二）課前預習

1.求函數f（x）=x2+|x-1|的最小值.

2.已知函數f（x）=x|x-2|，求：

（1）函數f（x）的單調區間；

（2）當x∈

12，1+72

時，f（x）的值域；

（3）當x∈

12，a

時，求f（x）的最大值.

設計意圖：

1.通過兩個問題的解決，使學生明確此類|x-a|函數的本質就是分段函數，而且每一段都是二次函數.這就為學生自覺運用函數圖像解決問題奠定了基礎（分別依據二次函數的零點式、一般式、頂點式作圖，可以采集不同的信息）.

2.通過問題的解決，使學生明確此類函數的基本問題是研究函數的單調性，進而解決函數的最值或值域問題.

3.注重思想方法的自然形成.第2題的第（3）問在第（2）問的基礎上思考完成，為分類討論方法的使用提供了載體.

4.注重學生數學素養的培養.第2題第（2）問中，0和2是函數f（x）的零點，直線x=1是函數f（x）=x（x-2）的對稱軸.因此，考查f（x）在區間

12，1+72

上的單調性時，左端點12不難確定，對于右端點

1+72

，就需要一定的思考和分析.1+72>2，并且f

1+72

=

f12

，需要不斷地調整，這種能力就是素養.第2題第

（3）問中，由于f（1+2）=f（1）

，利用第（2）問中的思路，

分為x=1，x=2，x=1+2，對a的值進行討論，從而確定函數f（x）在區間

12，a

上的單調性.這種依據圖像直觀，結合函數圖像上的節點，形成的討論就是具備數學核心素養的表現.

反思提煉：

1.我們研究了哪一類函數的問題？

——含有|x-a|的一類函數的問題.

2.這類問題的本質是什么？

——分段函數，而且每一段都是二次函數，它屬于基本函數.

3.我們研究了這類函數的什么問題？

——求單調區間和最大（小）值、值域問題（其實就是研究函數的單調性，函數的最大（小）值或是值域都要依托單調性來求解），這些問題都是函數最常見的問題.

4.解決問題的過程中，我們都分別用到了什么方法？

——數形結合、分類討論的思想方法.

二次函數的單調區間往往通過其圖像來獲得.二次函數作圖過程中，一般式可以考查確定開口方向和縱軸截距；頂點式可以考查確定對稱軸和頂點縱坐標；零點式可以考查確定圖像與x的兩個交點.

（三）典型例題

兩個預習題目所呈現的是含有|x-a|的函數中比較重要的、基本的模型和典型性問題，含有豐富的數學思想方法和較高的能力要求.因此，我們有必要在此基礎上再做深入細致的思考和研究.

【例1】已知函數

f（x）=x|x-a|，

（1）求函數的單調區間；

（2）記函數f（x）在區間[0，2]上的最大值為F（a），求F（a）的表達式.

設計意圖：

1.第（1）問中類比課前預習中的2，依托二次函數零點式作圖，確定不同情形下函數的單調區間.

2.第（2）問中一方面利用第（1）問中的圖形，針對函數f（x）在區間[0，2]上的單調性展開討論，確定最大值；另一方面，也可以利用|x-a|的幾何意義，分a<0、0≤a≤2和a>2去掉絕對值，化簡函數后再確定函數f（x）在區間[0，2]上的單調性.

3.第（2）問還需二次討論，培養學生的邏輯能力和對綜合問題的把握能力.

【例2】設a∈R，函數f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求f（x）的最小值.

f（x）=

3x2-2ax+a2，x≥a

x2+2ax-a2，x

即

f（x）=

3（x-a3）2+23a2，x≥a

（x+a）2-2a2，x

設計意圖：

1.在例1形成的新認知結構基礎（每段二次函數的二次項不同，常數項均不為零，兩段函數的相關性不強）上，進一步檢查學生對此類問題解決方法的掌握情況.通過學生交流及教師的引導，使學生及時進行辨析對比較、矯正確認.

2.對兩段函數作圖時，能夠依據對稱軸展開討論，就是有素養的表現.同時，作圖過程中“銜接點”的把握也是關鍵點.

課堂小結：什么函數？什么問題？什么方法？（具體略）

用圖體會：圖“不動”，區間端點“動”.

【

第二輪復習】

（一）教學目標

1.通過在函數解析式中設置參數，增大問題考查的廣度和深度.

2.通過問題的逆向考查，加深學生對知識和方法的理解，培養學生的邏輯思維能力.

3.圍繞函數的零點、恒成立等問題，培養學生以含有|x-a|的函數為載體的應用意識和應用能力.

（二）課前預習

1.已知函數f（x）=x|x-2|-a有三個零點，則實數a的取值范圍為.

2.若不等式x2+|x-1|≥a恒成立，則實數a的取值范圍為.

3.若函數f（x）=x|x-a|在區間[2，+∞）上單調遞增，則求實數a的取值范圍.

設計意圖：

1.回顧函數|x-a|零點問題的相關處理方法——轉化法[函數f（x）的零點、方程f（x）=0的根、函數y=h（x）與函數y=φ（x）圖像的交點].

2.回顧恒成立問題的兩類基本方法（最值法和參變量分離法）.

3.增加問題的逆向考查，加深學生對知識和方法的理解，培養學生的邏輯思維能力.

4.增加應用的成分，增強問題的綜合性，增加考查強度.

方法提煉：

1.零點、恒成立問題常規的處理方法.

2.在一輪復習基礎上，強化用圖意識（區間端點“2”動，圖不動）.

（三）典型例題

【例1】已知函數f（x）=x|x-a|.設a≠0，若f（x）在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，分別求出m，n的取值范圍（用a表示）.

設計意圖：引導學生在一輪復習中例2的基礎上進行思考（思維和方法的連續性，提高復習效率）.學生受初中知識方法的影響，往往第一感覺就是考慮端點值的代入.我們設計成開區間的形式，就會促使學生進行新的思考.函數f（x）在區間（m，n）上肯定不會單調，那么，最大值（最高點）、最小值（最低點）必在區間（m，n）內部.

此題增強了學生的用圖意識，培養了學生的邏輯思維能力，又為后面學習函數的極值奠定了基礎.

【例2】已知函f（x）=|x|（x-2）.

（1）當a≤0時，求函數f（x）的單調區間；

（2）在（1）的條件下，求函數f（x）在區間-1，12

上的最大值.

設計意圖：

在含有|x-a|的函數的問題處理上，進一步夯實學生的基本功，培養學生的數學核心素養.在確定函數在區間-1，12中，需要分類討論，關鍵點是確定分類討論的標準，是依托區間端點“-1”進行，還是依托端點“12”進行，不是特別明確，需要學生分析思考，要逐步摸索，不斷調整，這就是能力的體現.在最大值的確定上，還要進行二次討論.

【例3】已知關于x方程|x-a|x=a有三個不同的根，求實數a的取值范圍.

設計意圖：

在知識縱向延伸的基礎上再向橫向拓展，圍繞方程有根問題的諸多處理方法，突出、強化對含有|x-a|的函數問題的常用方法（圖像法）的應用.

【例4】已知函數f（x）=x|x-a|-2，當x∈[0，2]時，

f（x）<0恒成立，求實數a的取值范圍.

設計意圖：

通過恒成立這種問題形式，使學生分析思考解決的方式：可以直接求f（x）max（一輪復習中的例1），這正是本專題復習的效果所在.也可以進行參變量分離處理.

本課小結：

哪些知識？哪些方法？哪些應用？問題和思路梳理！（具體略）

三、教學設計分析

同一內容，根據其發生、發展及應用的不同階段，應有不同的教學設計來引導和促進學生的學習、理解和技能的形成.這種教學設計，是發揮學生學習、教師教學和知識發生、發展這三個過程作用的一種教學框架.它使學生能夠積極動腦、動手、動口參與知識和方法的形成的過程（即生長過程）.因而，教師傳授（即學生獲取）信息、知識的同時，也培養了學生（學生自我發展）創造知識的能力，提高了學生（學生自我增進）的技能.也就是說，通過科學的設計，使教師的教學過程、學生的學習過程統一于師生共同參與研究、討論、探索、發現的過程.這是一個獲取知識、發展思維、訓練技能三位一體的過程，是知識和能力相結合的過程.

（責任編輯黃桂堅）