在研究中讀懂教材　在分法中明晰算理
——《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》教學(xué)思考

江蘇泰州市城東中心小學(xué)　　張小琪

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，整數(shù)除法分成三段教學(xué)：表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法；除數(shù)是一位數(shù)、兩位數(shù)的除法；用計(jì)算器計(jì)算除數(shù)是三位數(shù)、四位數(shù)的除法。在第一學(xué)段表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法，學(xué)生通過(guò)乘法口訣掌握。但在第二學(xué)段兩、三位數(shù)除以一位數(shù)除法，學(xué)生需要掌握筆算方法，而這一內(nèi)容是小學(xué)階段學(xué)習(xí)除法知識(shí)的奠基石，所以這一階段筆算的算理、算法顯得尤為重要。

在以往的除法教學(xué)時(shí)，我們通常借助具體的情境“分物”，采用講授的方法，告訴學(xué)生計(jì)算程序，比如總結(jié)出一些計(jì)算法則：1.從高位除起；2.哪一位上除得的結(jié)果有余數(shù)，就要把它與被除數(shù)下一位上的數(shù)合起來(lái)繼續(xù)除；3.每求出一位商，余下的數(shù)必須比除數(shù)小，還會(huì)通過(guò)“一除、二乘、三減、四移”等步驟一一講解。至于為什么從最高位開(kāi)始除，筆算除法與我們以往學(xué)習(xí)的加法、減法、乘法的運(yùn)算方法有什么不同，教師似乎很少關(guān)注。學(xué)生會(huì)通過(guò)模仿、練習(xí)逐漸掌握其算法，當(dāng)沒(méi)有真正理解算理和算法時(shí)，學(xué)生遇到類(lèi)似下面的題型卻無(wú)從下手。

因此，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中闡述的教材作用以及培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力兩個(gè)方面，筆者在教學(xué)《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》時(shí)，有了以下的思考和嘗試。

一、借助具體情境，在分法中感知從“高位”算起的算理

因?yàn)槌ㄘQ式的形式和結(jié)構(gòu)與加、減、乘法有很大差別，所以學(xué)生理解并掌握除法豎式里的分段計(jì)算是教學(xué)難點(diǎn)。根據(jù)教材提供的具體情境，筆者借助“分羽毛球”這一情境整合教材，并利用學(xué)生“平均分實(shí)物”的經(jīng)驗(yàn)，將平均分的操作活動(dòng)和豎式之間建立起對(duì)應(yīng)聯(lián)系，理解“除數(shù)為什么從最高位除起”這一新的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

首先通過(guò)談話，出示情境圖，某年級(jí)購(gòu)進(jìn)一些羽毛球平均分給4個(gè)班，你想怎么分？

生1：先分整筒，每班1筒，再分單個(gè)的8個(gè)，每班2個(gè)，所以每個(gè)班分得12個(gè)。

生2：先分單個(gè)的8個(gè)，每班2個(gè)，再分整筒，每班1筒，所以每班分得也是12個(gè)。

可見(jiàn)，當(dāng)兩位數(shù)的十位和個(gè)位都能平均分，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)兩種方案，可以先分筒，再分個(gè)，也可以先分個(gè)，再分筒。如果此時(shí)出示筆算，要求學(xué)生從最高位開(kāi)始算起，學(xué)生似乎不能理解其道理。

再出示另一情境圖，如果購(gòu)進(jìn)這些羽毛球，平均分給4個(gè)班，你想怎么分？

生1：先分整筒，每班1筒，再將剩下的1筒和單個(gè)的6個(gè)，湊成16個(gè)，每班4個(gè)，最后將1筒和4個(gè)合起來(lái)，每班分得14個(gè)。

生2：先分單個(gè)的6個(gè)，發(fā)現(xiàn)平均分給4個(gè)班，不能正好分完……

可見(jiàn)，如果先分個(gè)的話，單獨(dú)的6個(gè)平均分給4個(gè)班，不能平均分得整個(gè)數(shù)，需要和1筒合起來(lái)。所以在這個(gè)情境中，學(xué)生已有初步的感知，最好先分筒，再分個(gè)，也就是先十位平均分，再個(gè)位平均分，如果十位多余的還要和個(gè)位合起來(lái)繼續(xù)分。

最后再出示情境圖，學(xué)校又購(gòu)進(jìn)了大量的羽毛球，平均分給4個(gè)班，你想先分箱還是先分單個(gè)的？說(shuō)一說(shuō)你是怎么想的？

學(xué)生有了前一題的經(jīng)驗(yàn)，都認(rèn)為先分箱，再分筒，最后分個(gè)。如果反過(guò)來(lái)，會(huì)出現(xiàn)個(gè)不能正好整分，筒也如此。

教師提問(wèn)：大家都達(dá)成共識(shí)，那么這里的“箱、筒、個(gè)”，如果寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的數(shù)位，分別對(duì)應(yīng)的是哪一位？

生：箱對(duì)應(yīng)的是百位，筒對(duì)應(yīng)的是十位，個(gè)對(duì)應(yīng)的是個(gè)位，也就是536的每個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位。

教師繼續(xù)追問(wèn)：我們要算出每班分得多少個(gè)，如果筆算，你覺(jué)得先從哪位算起比較方便？

生：從被除數(shù)的百位算起，因?yàn)楦鶕?jù)剛才分的經(jīng)驗(yàn)，先分箱，如果箱還剩余的要和筒合起來(lái)再算，依此類(lèi)推。

可見(jiàn)，在此情境中，學(xué)生已經(jīng)感知筆算除法為什么要從高位算起。雖然還沒(méi)進(jìn)行筆算教學(xué)，但是在“先分箱—再分筒—最后分個(gè)”的過(guò)程中，已經(jīng)感知了每一數(shù)位上有余數(shù)要和下一位合起來(lái)繼續(xù)分，一直分到最后一位。這一“分物”情境也為筆算算法和算理提供了具體的模型，而且將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)是從實(shí)際生活中抽象出概念、模型，數(shù)學(xué)也是一門(mén)“講道理”的學(xué)科。

二、去“情境”化“抽象”，在動(dòng)手操作中明晰算法算理

情境是搭建數(shù)學(xué)“生活化”與“數(shù)學(xué)化”的橋梁，將學(xué)習(xí)內(nèi)容有機(jī)融合在具體能感知的環(huán)境中，為新知的學(xué)習(xí)提供了生長(zhǎng)點(diǎn)。鄭毓信教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類(lèi)事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還要經(jīng)歷 ‘去情境化’的過(guò)程。”“去情境化”指將知識(shí)從具體的情境中分離抽象出來(lái)，從而超越情境，成為概括性的知識(shí)。這一過(guò)程讓學(xué)生自覺(jué)地建構(gòu)起隱藏在情境后面的數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)含義，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到全面提升。

因此，學(xué)生明晰“除法為什么從高位算起”這一道理的基礎(chǔ)上，在這一環(huán)節(jié)中，需進(jìn)一步讓學(xué)生在動(dòng)手操作中明晰算法和算理，掌握規(guī)范的筆算格式。雖然以上三個(gè)情境都是“分羽毛球”，都是用除法來(lái)計(jì)算，但是列出的三個(gè)算式代表三個(gè)類(lèi)型。筆者認(rèn)為借助動(dòng)手操作重點(diǎn)交流像“56÷4”高位不能整除的算法和算理。 而算式“536÷4”，每一位上的數(shù)都不能整除，可以根據(jù)上一題的方法，結(jié)合剛才分“箱—筒—個(gè)”的模型，類(lèi)推算法，理解算理。

1.兩位數(shù)除以一位數(shù)，每位都能整除

教育心理學(xué)布魯納認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)有三種表征方式，即動(dòng)作表征、形象表征和符號(hào)表征，這三種表征方式都是從具體到抽象不斷遞進(jìn)的過(guò)程。中低年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著更依賴動(dòng)作表征及借助實(shí)物的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為應(yīng)該通過(guò)動(dòng)手操作來(lái)幫助學(xué)生理解知識(shí)與方法，由動(dòng)作表征形成形象表征，進(jìn)而過(guò)渡到符號(hào)表征。于是用學(xué)具小棒來(lái)代替羽毛球，讓學(xué)生分一分，在操作的基礎(chǔ)上寫(xiě)出自己的算法，然后用文字寫(xiě)出分的過(guò)程，并轉(zhuǎn)化為豎式計(jì)算的過(guò)程。

生1：先把4捆平均分成4份，每份1捆，再把8根小棒平均分成4份，每份2根，合起來(lái)12根（如圖1）。

圖1

生2講解筆算過(guò)程（如圖2）。

圖2

這一環(huán)節(jié)教師要及時(shí)回顧和反思48÷4的豎式，整理筆算的要領(lǐng)：分幾步除？每步除什么？商寫(xiě)在哪里？引導(dǎo)學(xué)生復(fù)述筆算過(guò)程，內(nèi)化算法，每位都能整除學(xué)生也就容易掌握。因?yàn)樵谇懊嬉呀?jīng)講了先分捆，再分根，所以學(xué)生筆算不會(huì)出現(xiàn)以下幾種錯(cuò)誤。

2.兩位數(shù)除以一位數(shù)，高位不能整除

學(xué)習(xí)這一環(huán)節(jié)，先讓學(xué)生猜想一下56÷4和48÷4的筆算過(guò)程有什么不同，哪兒不同。學(xué)生在之前有的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)到十位不能整除，需要和個(gè)位合起來(lái)再繼續(xù)分，所以這里重點(diǎn)講清怎么合起來(lái)繼續(xù)分，然后讓學(xué)生借助小棒，在操作、交流中明晰算法和算理。

生1：先把5捆平均分成4份，每份只能是1捆，還多1捆小棒，再把1捆小棒拆開(kāi)和6根小棒合起來(lái)16根，把16根平均分成4份，每份4根，最后1捆和4根小棒合起來(lái)14根。

生2：我是畫(huà)圖來(lái)表示分的過(guò)程（如圖3）。

圖3

教師做出評(píng)價(jià)：一目了然，很清楚，先分捆，再分根，還用集合圈的方式表示合起來(lái)16根。

生3：我是用豎式計(jì)算，還用文字寫(xiě)出了兩次分法（如圖4）。

圖4

生4：我需要補(bǔ)充的是，我用除法算式寫(xiě)出了兩次分法中的誰(shuí)來(lái)分，并算出分得多少（如圖5）。

圖5

師總結(jié)：剛才同學(xué)們都用自己不同的方式表示了56÷4的計(jì)算過(guò)程，不管是畫(huà)圖、文字，還是用除法算式表述，都有一個(gè)共同點(diǎn)，就是分為兩步分，“先分捆，再分根”，如果捆還有剩余需要和根合起來(lái)繼續(xù)分，一直分到個(gè)位結(jié)束。

師追問(wèn)：在這豎式計(jì)算中，還能寫(xiě)出一些橫式嗎？

學(xué)生交流匯報(bào)，寫(xiě)出了以下橫式。

（1）分到了多少：

40÷4=1016÷4=410+4=14

（2）分了多少：

10×4=404×4=1640+16=56

（3）要分的數(shù)：56-40=16

16-16=0

教師總結(jié)：在分的過(guò)程中，同學(xué)們理解先分什么、分到了多少、分了多少、還余多少、余下來(lái)的還要怎么分、分到什么程度不分了等問(wèn)題，就能清楚每步的算法和算理了。

可見(jiàn)，在以上交流的過(guò)程中，學(xué)生理解了“除法為什么要從高位算起”的算理，從而理解除法的意義及豎式的寫(xiě)法，經(jīng)歷了在除法算式中“商—乘—減—合”循環(huán)往復(fù)的計(jì)算過(guò)程。

3.三位數(shù)除以一位數(shù)，每位都不能整除

在掌握了兩位數(shù)除以一位數(shù)的算法的基礎(chǔ)上，三位數(shù)除以一位數(shù)536÷4就可以放手讓學(xué)生筆算。學(xué)生根據(jù)“箱—筒—個(gè)”三次分的情況理解豎式三步計(jì)算。

生1：我用豎式計(jì)算，寫(xiě)出了三次分的數(shù)，合起來(lái)就是536個(gè)。先分百位5，每份1百，多余的1個(gè)百和3個(gè)十合起來(lái)就是13個(gè)十，每份3個(gè)十，還余1個(gè)十，最后和個(gè)位6合起來(lái)共16個(gè)一，每份4個(gè)，所以得數(shù)是134（如圖6）。

圖6

生2：我是這樣表示的，在這個(gè)筆算除法算式中，一共又分了3次，我標(biāo)出了每次分的數(shù)（如圖7）。

圖7

生3：我用乘法算式表示出來(lái)每次分的過(guò)程（如圖8）。

圖8

生4：我在除法豎式中還能寫(xiě)出好多橫式。

（1）分到了多少：400÷4=100120÷4=3016÷4=4100+30+4=134

（2）分了多少：100×4=40030×4=1204×4=16400+120+16=536

（3）要分的數(shù)：536-400=136136-120=1616-16=0

學(xué)生多種的思維方式，正是有了 “分羽毛球”這一數(shù)學(xué)情境和模型，有了兩位數(shù)除以一位數(shù)的算理理解的基礎(chǔ)，才能水到渠成地筆算出三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計(jì)算。由“扶”到“放”，學(xué)生經(jīng)歷了思維形成的過(guò)程，真正理解了除法算式的算理，對(duì)每一個(gè)數(shù)字，每一個(gè)過(guò)程都能講出來(lái)龍去脈，這就是數(shù)學(xué)要知其然而知其所以然。

三、形成概括推理，感悟除法筆算的魅力

將三個(gè)類(lèi)型的除法筆算豎式匯總一起，進(jìn)一步讓學(xué)生在筆算中找到變與不變，說(shuō)一說(shuō)算法有什么相同，有什么不同。根據(jù)算法和算理，除了今天學(xué)習(xí)的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，你還能計(jì)算出怎樣的算式？自己舉例說(shuō)一說(shuō)，算一算。

生1：除法筆算開(kāi)始覺(jué)得比較難，而且不適應(yīng)，但是經(jīng)過(guò)分“羽毛球”的過(guò)程，還有三個(gè)算式一比較，就很容易掌握了。

生2：除法筆算里還包含了好多加、減、乘、除的算式，真的很神奇。

生3：除法筆算是四則運(yùn)算的最高境界。

生4：我覺(jué)得除法筆算和生活緊密聯(lián)系。

生5：我可以由兩位數(shù)除以一位數(shù)的算法推理到三位數(shù)除以一位數(shù)的算法，所以，根據(jù)這樣的算理和算法，我還能算出5536÷4等。

生6：我還會(huì)算出三位數(shù)除以兩位數(shù)，比如536÷24。

……

可見(jiàn)，學(xué)習(xí)除法算式對(duì)學(xué)生是一次筆算的挑戰(zhàn)，里面包含了四則運(yùn)算，還滲透了演繹推理，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的重要階段。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中，作為核心概念提出的“運(yùn)算能力”是指“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確進(jìn)行運(yùn)算的能力，培養(yǎng)運(yùn)算能力要有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題”。所以，今天的運(yùn)算能力，已經(jīng)改變了以往單純追求“又對(duì)又快”的傳統(tǒng)面貌，改變通過(guò)重復(fù)訓(xùn)練、機(jī)械記憶、精講多練來(lái)提高運(yùn)算能力的傳統(tǒng)途徑，而是去分析運(yùn)算的過(guò)程，在運(yùn)算程序中感悟到算理，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

所以教師要舍得花時(shí)間讓學(xué)生理解算理，在讀懂教材的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)知識(shí)“求通”“求聯(lián)”“求變”，抓住核心問(wèn)題，利用有效的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)讓學(xué)生學(xué)習(xí)真正發(fā)生。這樣，學(xué)生的“四能”和“四基”才能得到發(fā)展，學(xué)習(xí)才能走向深度，思維才能走向深刻，學(xué)生的核心素養(yǎng)才能真正落實(shí)！?