例談幾何直觀在小學數學中的價值

江蘇南京市浦口區行知小學　　孫寶軍

“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的10個核心概念之一，它是小學數學核心素養中直觀想象方面的關鍵能力。從實物圖、示意圖到一維的線段圖、二維的平面圖、三維的立體圖，學生通過想象借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要的作用。無論是在數與代數、空間與圖形、統計與概率還是綜合與應用領域，都能體現幾何直觀不可忽略的價值。

一、利用幾何直觀認識數

在小學數學中，認識整數時基本都是通過實物圖、方塊圖、數軸等不同形式的圖式，幫助學生化抽象為直觀地建立整數概念，培養數感。

例如：在二年級下冊學習“千以內的數”時，蘇教版教材中出示了圖1，讓學生先看圖，再在計數器上撥一撥，最后說說有多少個。讓學生借助直觀圖數數來認識千以內數的組成。

看圖先在計數器上撥一撥，再說說有多少個。

圖1

分數比整數更為抽象，教學時教材都是從直觀圖入手幫助學生一步步建立對分數的認識的。如在認識帶分數時，蘇教版教材中出示了圖2，學生結合數軸的觀察思考，可以發現兩個分數可以用數軸上的同一個點表示，這樣有利于理解改寫的思路，體會改寫是合理的。

圖2

二、利用幾何直觀理解算理

算理的教學在計算教學中非常重要，如何幫助學生理解算理，是教師們在計算教學中一定要解決的問題。幾何直觀就是幫助學生理解算理的一個好途徑。

例如：在教學小數乘整數時，當學生根據教材中的情境和問題列出0.8×3后，教師可以讓學生通過寫一寫、畫一畫等方法自主探究0.8×3的積是多少。這其中，畫一畫的方法就是希望學生可以通過幾何直觀來理解0.8×3的積為什么是2.4。在實際的課堂教學中，曾經出現過以下幾種直觀圖（圖3、圖4）：

圖3

圖4

學生利用這樣的直觀圖去理解0.8×3是8個0.1乘3，得24個0.1，就是2.4，把抽象的算理變得直觀易懂。

再如：在教學“乘法分配律”時，除了教材中提供的情境外，教師也可以給學生提供如圖5的長方形組合圖，讓學生根據數據求出大長方形的面積。學生能直觀地感知到先分別求出小長方形的面積再相加，或是先求出大長方形的長再乘寬，這兩種算式求出的都是大長方形的面積。這樣學生就經歷了數與形的一一對應，明晰每一步運算表示的直觀意義。再通過更改三個數據得到不同組的等式，進行觀察比較歸納總結出規律。最后通過圖6，用字母代替具體的數抽象出符號模型。這樣以直觀的形對應運算，逐步抽象提取乘法分配律的符號模型。

圖5

圖6

三、利用幾何直觀分析數量關系

借助于直觀的幾何圖形把抽象思維和形象思維結合起來，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，找到優化解決問題的途徑。在小學階段，利用幾何直觀分析數量關系解決數學問題，可分為以下三個不同的水平表現：利用圖形表示簡單情境中的數量關系；用圖形表達和分析稍復雜問題情境中的數量關系；用圖形表達和分析非常規問題情境中的數量關系。

如：在學習三年級下冊解決倍數關系的問題時，教材中出示了如圖7的例題。教師在教學中可以設計以下三個環節：

圖7

1.學生獨立審題，找出條件和問題。

2.畫出表示上衣價格的線段，并在圖中表示出問題。

3.根據線段圖分析數量關系，嘗試列式計算。

4.展示交流不同的解題方法。

將抽象的數量通過直觀的線段表示出來，有利于學生分析出解決問題的數量關系，而且方法是多樣的。這就是用圖形表示簡單情境中的數量關系。

再如：六年級下冊用假設策略解決問題，蘇教版教材中出示了如圖8的例題。

圖8

在教學中，教師可以設計以下自主探究環節：

1.學生獨立審題，找出條件和問題。

2.嘗試用畫一畫、列表、計算等方法自主解決問題。

3.展示交流學生不同解題方法。

4.檢驗反思。

其中在展示交流學生的不同解題方法時，學生一般會出現直接列式計算、用方程解答、列表、畫示意圖等方法解答。教師在引導學生溝通不同方法的聯系時，主要是通過如圖9這樣的直觀示意圖，幫助學生直觀地理解假設都是大船，然后調整成小船的過程。這個例子充分體現了用圖形可以表達和分析一些非常規問題情境中的數量關系。

圖9

四、利用幾何直觀分析統計數據

在統計與概率領域當中，條形統計圖是通過條形的長短表示數量的多少，便于比較；折線統計圖是通過折線的高低不僅能表示數量的多少，還能清楚地表示數量的增減變化情況；扇形統計圖通過扇形與整個圓的面積關系，清楚地表示出各部分數量與總數量之間的關系。可見，幾何直觀在統計與概率領域的重要價值。教師在教學中要注重培養學生通過對條形、線段、扇形的觀察比較，分析數據預測結果。

如圖10這樣一道習題，就是需要學生能通過觀察，直觀地感知男女生平均身高的折線變化趨勢，預測結論提出想法。

下面是某地區7～15歲男生、女生平均身高統計圖。

圖10

（1）比較男生和女生的身高變化，你能得出什么結論？

（2）把你的身高與平均值比較，你有什么想法嗎？

總之，幾何直觀作為直觀想象這一核心素養的關鍵能力，在小學數學教學中不容忽視。教師在平時的教學中，要根據學習內容創造條件、設計環節，有意識有目的地培養學生讀圖、識圖、畫圖及借助直觀圖分析數量關系、解決問題的能力，發展學生直觀想象的數學素養。?