溝通聯系　突出思想
——“雞兔同籠”教學實踐與思考

北京亦莊實驗小學　　牛獻禮

“雞兔同籠”出自《孫子算經》，該題雖不具有實際意義，卻可以成為一類問題的數學模型。同時，題目情節有趣但不簡單，解答有挑戰但不艱澀，是集趣味性、思考性、人文性為一體的數學素材，成為歷史名題實至名歸。

在蘇教版教材中，此題被安排在六年級下冊“解決問題的策略”單元的“你知道嗎”中。人教版教材原本將其編排在六年級上冊“數學廣角”當中，主要用列表法、假設法和方程法解決問題，修訂后將這部分內容移至四年級下冊，刪去了方程法，突出了假設思想。

假設作為畫圖、列表和列式的起點，除了假設全是雞或全是兔，還可以假設雞或兔的數量為0至頭數和之間的任一自然數。顯然，假設全是雞或者全是兔，是從最特殊的情況入手，這是解決數學問題的常用策略。因為最特殊的情況往往容易把握，容易推算。這些不同的假設，其共同的數學實質是在兩個已知條件中先滿足一個條件，如“頭數和是8”，再通過調換，來滿足另一個條件，如“腳數和是26”。

課前調研發現，筆者所任教班級中的大多數學生對列表法非常陌生，缺乏用此方法解決問題的經驗；多數學生能嘗試用畫圖法解決問題；極個別學生能用算式正確解答“雞兔同籠”問題，但追問其解題思路卻表述得不夠清楚，不知算式的內在含義。眾多一線教師的教學實踐也證明了這一點，不少已學過“雞兔同籠”問題的學生對于假設法仍感到困惑。那么，如何為學生的自主探究活動搭建合適的“腳手架”？又如何針對學生學習的“盲點”和“瓶頸”幫助其實現“真正意義上的理解”呢？在實際教學中，筆者注重從以下三個方面溝通聯系，收到了較好的效果。

1.溝通正向思維與逆向思維之間的聯系

在導入環節，先出示“求雞、兔的總頭數與總腳數”的問題，這相當于“雞兔同籠”的原型題，學生只需正向思維計算。然后將條件與問題互換，改編成“求雞、兔各幾只”的問題，學生會發現“原來‘雞兔同籠’問題是這樣編成的”。同時，從正向思維過渡到逆向思維，也為學生克服列表和驗算的障礙做了鋪墊，有利于后續自主探究活動的展開。

2.溝通直觀畫圖與抽象列式之間的聯系

全班交流不同的方法時，筆者選擇了先讓學生說說假設法的算式和算理。由于假設法的高度抽象性，學生很難說清楚算理，尤其是“用多出的腳數÷2，這里的‘2’的含義究竟是什么？”“假設全是雞，先求出的為什么是兔？”“假設全是兔，先求出的為什么是雞？”等問題，是學生的學習難點。在學生說不清或其他學生聽不懂時，再呈現“畫圖”的過程，借助圖示來說明每一步算式的道理。這樣才能彰顯直觀對于抽象的輔助作用。

3.溝通三種方法之間的內在聯系

“畫圖、列表、列式”這幾種方法本質上是一致的，都是假設法的不同體現。在畫圖法中，無論是先畫雞再添加腳，還是先畫兔再減少腳，都是直觀的假設，而且都是先假設全是一種動物，先滿足一個條件，然后通過與實際的腳數比較，逐步調換，滿足第二個條件。同樣，采用列表法，兩種順序（從雞或兔為0只開始）也是先假設全是雞或全是兔?？梢哉f，從畫圖、列表，到假設法列式，每一種方法都是“假設—比較—調換”這樣一種循環往復的思維過程，所體現出來的數學智慧是一樣的，都是先滿足一個條件，然后設法滿足第二個條件。因此，筆者在提問、評價、總結中都注重從假設的角度去把各種方法融會貫通，引導學生把看似不相同的方法化歸為一般方法，讓學生不僅對解題方法清晰明了，更對假設的思想有深刻的認識。同時，也讓學生感受到通過對比、梳理能讓數學知識從“厚”到“薄”，更具系統性。

雞（只）　1　2兔（只）　2　1腳數（只）　10　8

教學片段一：

師：大家都知道，一只雞有2只腳，一只兔有4只腳。如果現在籠子里有雞和兔共3只，一共有幾只腳呢？

生：如果籠子里有1只雞和2只兔，2×1+4×2=10（只），一共有10只腳；籠子里還可能有2只雞和1只兔，2×2+4×1=8（只），一共有8只腳。

師：我們可以把想法用列表記錄下來。

出示如下表格：

師：感覺怎么樣？

生：很有序！很清晰！

師：還可以用畫圖的方法。

師：畫圖的方法怎么樣？

生：很直觀！也很清楚。

【思考】從解決簡單問題入手，實則是讓學生在解決問題的過程中提煉此類問題的基本數量關系，即“2×雞的只數+4×兔的只數=總腳數”。通過開放式的問題，喚醒學生的學習經驗；表格和畫圖的出現，為學生打開了解決問題策略的思路，為后續自主探究活動做好了鋪墊。

教學片段二：

出示：有23只雞，12只兔，一共有多少個頭？多少只腳？

學生口答，集體評議。

課件顯示，頭數：23+12=35（個）

腳數：23×2+12×4=94（只）

師：如果把35個頭、94只腳作為已知條件，能不能改編成求雞、兔各幾只的問題呢？

隨學生回答，出示：籠子里有一些雞和兔。從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？

師：這就是在我國流傳很廣的數學名題——“雞兔同籠”問題（板書）。中國古代的數學文化非常先進，大約1500年前，我國古代數學名著《孫子算經》中就記載了這個問題。

出示：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

【思考】通過將問題的條件和問題互換，改編成“古算題”，由正向思維過渡到逆向思維，拉近了古算題與學生的距離，讓學生感受到“原來雞兔同籠問題是這樣編成的”。同時，也為學生克服列表和驗算的障礙進一步做了鋪墊。介紹“雞兔同籠”問題的悠久歷史，給數學課堂帶來了濃厚的文化氣息，讓學生感受到我國數學文化的源遠流長，激發了學生的自豪感和學習熱情。

教學片段三：

師：這道題目中的數據比較大，為了便于研究，數學上常用的方法是“化繁為簡”（板書），先研究較小的數，找到解題規律之后，再去研究較大的數。

出示：一個籠子里有雞和兔共8只，它們的腳一共有26只，雞和兔各有幾只？

學生獨立嘗試，自主探究。選取學生的典型解法進行全班交流（有意先展示“列式法”）。

生1：我的方法是列算式。

先假設全是雞，腳的只數就是2×8=16（只），

再用26－16=10（只），說明少了10只腳。

再用10÷2=5（只），這是兔的只數，

最后用8－5=3（只），求出雞的只數。

師：聽了生1的講解，大家有什么疑問嗎？可以向生1提問。

生2：我想問問，“10÷2”中的“2”是什么意思？

生1：這個“2”的意思是雞有2只腳，所以要除以2。

生3：我不同意，這個“2”應該是雞比兔少的2只腳。

師：大家同意誰的說法呢？

（同學們意見不一）

師：畫圖是很直觀的方法，誰能用畫圖法解釋一下這里的“2”究竟是什么意思？

生4（邊畫邊講）：我先畫出8只雞，每只雞有2只腳，一共16只腳，可是實際上有26只腳，少了10只，我就把雞換成兔，換一只兔就添上2只腳，10只腳就需要換5只兔。所以，我認為算式里的“2”應該是“把1只雞換成1只兔，添上的2只腳”。

如下圖：

借助直觀的畫圖，生4的講解贏得了全班同學的贊同！

師（追問生4）：你剛才畫圖時，為什么先畫出8只雞呢？

生4：我也是假設全是雞。

師：看來，畫圖法也是先“假設”！請大家再觀察，假設全是雞，先求出的5只是雞的只數還是兔的只數？

生：兔的只數。

師：為什么假設全是雞，先求出的是兔的只數呢？

生：假設全是雞，算出的腳的只數就少了，需要把雞調換成兔，換成1只兔就添上2只腳，需要換成5只兔才行。所以，先求出的是兔的只數。

師：每一步畫圖都對應著每一步算式，畫圖法和算式法盡管方法不同，但是道理是相通的。

【思考】實踐證明，畫圖法能使學生直觀地理解推理、調換的過程，理解推算過程中每一步的含義。數形結合，是講解抽象算理的一條捷徑。

教學片段四：

生5：我是用列表的方法做的。先假設有7只雞、1只兔，算出有18只腳，發現比實際的腳數少，就改成6只雞、2只兔，發現腳數還是少，就再改，一直到3只雞、5只兔，腳數就是26只了。所以，一共有3只雞、5只兔。

師：列表也是一種好方法！從7只雞、1只兔開始嘗試，其實也是一種假設。既然是“假設”，我們還可以考慮得更極端一些，從假設8只全是雞開始（補充完善生4的表格），如下圖：

雞（只）　8　7　6　5　4　3　2　1　0兔（只）　0　1　2　3　4　5　6　7　8腳（條）　16　18　20　22　24　26　28　30　32

師：仔細觀察表格，你還有什么發現？

生：我發現每減少一只雞，增加一只兔，腳數就增加2只；每減少一只兔，增加一只雞，腳數就減少2只。

師：其實，列表的時候還可以跳著嘗試，由8只雞開始，發現算出的腳數比26少很多，就不用一只一只的進行調換了，可以跳著嘗試。

生6：我覺得還可以從中間數開始嘗試，假設“4只雞、4只兔”，算出腳數是4×2+4×4=24（只），比26只少2只，就把1只雞換成兔，3只雞、5只兔，就符合26只腳的條件了。（全班同學自發響起了掌聲?。?/p>

師：真好！剛才我們用幾種不同的方法解決了“雞兔同籠”問題，這些方法之間有相同之處嗎？

生：有，它們都是先假設全是雞，再拿腳數跟實際腳數進行比較，然后再把雞換成兔，找到答案。

師：是的！“雞兔同籠”之所以成為歷史名題，解答時需要同時滿足“8個頭”“26只腳”這兩個條件。三種方法盡管形式不同，但道理相通，都是先通過“假設”，滿足第一個條件，再與正確的腳數“比較”，然后“調換”，設法滿足第二個條件。（板書：假設—比較—調換）

【思考】從假設的角度去融會貫通，引導學生從看似不同的各種方法中找到其共同之處，溝通了各種方法之間的聯系，進一步明確了“假設—比較—調換”這一解決問題的基本策略，揭示了“先滿足一個條件，然后設法滿足第二個條件”的規律。同時，多樣中鎖定“假設法”這一重點，突出了假設思想，提高了學生的邏輯推理能力，引導學生感悟數學內在的理性美。

教學片段五：

1.解決“古算題”

學生獨立完成，集體反饋。重點追問“假設全是雞，為什么先求出的是兔的只數？”和“假設全是兔，為什么先求出的是雞的只數？”

2.介紹古人的解法

師：大家想不想了解中國的古人是用什么方法解決“雞兔同籠問題”的？古人的方法是“抬腳法”，也就是“金雞獨立，兔子站起”。

課件動態演示：

著地的腳數：94÷2=47（只）

1只雞對應著一只腳，而1只兔卻對應著2只腳。每多出一只腳，說明就有一只兔。

兔只數：47-35=12（只）

雞只數：35-12=23（只）

師：是不是很巧妙？美國數學家波利亞非常欣賞這種方法，在他的著作《數學的發現》中把這個方法詳細介紹到了美國。日本還有個“龜鶴算”問題。

（出示：龜鶴的圖片）

師：日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯系嗎？

生：是一樣的意思，龜就相當于兔，都是四只腳；鶴就相當于雞，都是兩只腳。

師：日本的“龜鶴算”問題就是從我國的“雞兔同籠”問題演變來的。其實，這里的雞不僅僅是雞，兔也不僅僅是兔，“雞兔同籠”只是這類問題的一個統稱。生活中有許多類似“雞兔同籠”的問題，也能用今天學習的方法去解決。

（出示）（1）自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

（2）信封里放著5元和2元的鈔票，共8張，34元，信封里5元和2元的鈔票各有多少張？

【思考】從“雞兔”“龜鶴”問題的比較，提煉出簡單的問題模型。然后，將模型演繹到各種生活現象和問題情境中，促進模型的進一步內化。?