初中數學動點問題解析與思路探討

◎楊欣

一、動點問題的概述

動點問題可以稱為“幾何動態”問題，它通常指的是幾何圖像中，一個可以沿一定方向或在一定范圍內移動的動點，在移動過程中能夠反映幾何圖形的變化規律。從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖像等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學生經歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養學生解決問題的能力.圖形在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。

二、動點的解題思路解析

動點問題是指以幾何知識和圖形為背景，以運動變化為視角，探討動點運動中的規律。這些問題揭示了“運動”與“靜止”、“一般”與“特殊”的內在關系，以及在一定條件下可以相互轉化的唯物辯證關系。這類試題以運動的點、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個或多個變量，要求確定變量與其他量之間的關系，或變量在一定條件為定值時，進行相關的幾何計算和綜合解答，解答這類題目，一般要根據點的運動和圖形的變化過程，對其不同情況進行分類求解。

例1，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且DG＝AD，動點M從A出發，以每秒1個單位的速度沿著A→C→G的路線向G點勻速運動（M不與A、G重合），設運動時間為t秒，連接BM并延長交AG于N。

（1）是否存在點M，使△ABM為等腰三角形？若存在，分析點M的位置；若不存在，請說明理由。

（2）當點N在AD邊上時，若BN⊥HN，NH交角CDG的平分線于H，求證：BN＝NH。

（3）過點M分別向AB、AD作垂線，垂足分別為E、F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，求S的最大值。

例2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，sinB＝3／5，點 D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，連接DE、DF，動點P，Q分別從點A，B同時出發，運動速度均為1cm／s，點P沿A→F→D的方向運動到點D停止；點Q沿BC的方向運動，當點P停止運動時，點Q也停止運動。在運動過程中，過點Q作BC的垂線交AB于點M，以點P，M，Q為頂點作平行四邊形PMQN。設平行四邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y（cm2），點P運動的時間為t（s）。

（1）當點P運動到點F時，MQ＝cm；

（2）在點P從點F運動到點D的過程中，某一時刻，點P落在MQ上，求此時BQ的長度；（3）是否存在某一時間t，使平行四邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分是平行四邊形且面積為15／2？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由。

單動點問題是指只有一個動點，通過綜合平行四邊形、三角形的性質，結合定理、圖形分析和其他知識進行正確的分析和轉換，解決這些問題，如例1所示，解決問題的思路如下：在問題（1）中，采用數形組合的方法來解決問題。首先，有三種條件可以使我們根據圖像將ABM轉換成等腰三角形，即AB＝AM，AB＝BM，AM＝BM。問題（2）以N為移動點，從本質上講，這是一個將運動點轉化為不動點的一般性問題。問題（3）是求最大面積的形式。首先，當M在AC上時，可以根據勾股定理計算出邊長，用面積公式求出面積。其次，當M在CG上時，重疊區域為梯形，通過分割得到。

雙動點型如例2所示，兩個點以相同的速度和不同的方向同時開始運動。他們的想法如下：（1）P點運動過程中，因為F為中點，P和Q的速度相等，可以確定分別AF＝FC＝3厘米，BQ＝AF＝3厘米，再通過MQ∥AC知道△MBQ∽△ACB，由此可以找出答案；（2）在P點從F點移動到D點的過程中，當P點落在MQ上時，可以得到t＋t－3＝8的表達式。（3）可以根據問題計算和圖形DE＝1／2，AC＝3，DF＝1／2，BC＝4，然后證明△MBQ∽△ABC和MQ＝3／4t，由此可以分類討論問題：（1）當3≤t＜4時，重疊部分的圖形為平行四邊形，y代入求解即可；當4≤t＜11／2時，重疊部分為矩形，根據圖 y＝3［（8－t）－（t－3）］。當11／2≤t≤7時，圖形的重疊部分為矩形。根據圖，y＝3［（t－3）－（8－t）］，同理計算得出結果。

三、幾何畫板演繹動點輔助教學

教師解決動態問題可能相對簡單，但在日常教學中，如何清晰地向學生解釋動態問題是一個很大的難題。因此，信息社會為教師帶來了新的方法——幾何繪圖板等數學軟件，來解決動點問題，方便老師展示教學內容。根據相關調查顯示，學生喜歡在數學課上學習幾何畫板，用幾何畫板軟件上數學課的支持率高達100%，90%的受訪者認為幾何畫板在數學教學中，可以使抽象的數學知識簡單、直觀、生動和具體，更容易被接受和理解。

四、結語

動點問題是指與一個或多個點在指定區域內移動有關的問題，通常伴隨著點移動的各種變化。“動點”分為點的運動和線的運動（數不清的點構成線），所以動點問題往往與函數和幾何有關。一般來說，動點問題可以分為動點問題和動線問題，而動點問題包括單動點問題和雙動點問題。在運動點問題的日常教學中，可以使用幾何繪圖板等數學軟件直接描述運動點的變化，輔助教學。