凹凸率與平均值
——琴生不等式的推廣：凹凸率不等式

◎王禮斌

一、均值的概念

定義：對給定區(qū)間內(nèi)任意 x1，x2（x1＜x2），當(dāng)f（x）在該區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)時，則稱使等式 f（x0）＝p1f（x1）＋...＋pnf（xn）（p1＋p2＋...＋pn＝1，且p1，p2，...pn均為正數(shù)）成立的 x0稱為 x1，x2，...xn的 n元 f（x）加權(quán)均數(shù)，p1，p2，...pn，分別為對應(yīng)元素的權(quán)。

二、凹凸函數(shù)的幾何特征

凹凸函數(shù)是區(qū)分函數(shù)增減方式的兩種不同類型的函數(shù)，即：雖然函數(shù)單調(diào)增加，但卻可以有如圖的兩種方式的增加，把形如f1（x）的增長方式的函數(shù)稱為凸函數(shù)，而形如f2（x）的增長方式的函數(shù)稱為凹函數(shù)。

根據(jù)函數(shù)的凹凸定義，不難證明，若函數(shù) f（x）在區(qū)間 I是凹的，則函數(shù)－f（x）在區(qū)間I就是凸的。從而，我們從凸函數(shù)特征的討論可在凹函數(shù)上適用。

為了便于使用，通常把不等式寫成如下的等價形式：

如：設(shè)q1＝t，q2＝1－t，有q1－q2＝1.（q1，q2∈ （0，1））則（1）式可改寫為

則函數(shù)式可寫為

f（q2x2＋q2x2）≤ q1f（x1）＋q2x2

2、凸函數(shù)的幾何特性：

如圖，設(shè)A1，A2是凸函數(shù)y＝f（x）曲線上的兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的橫坐標(biāo) x1＜x2x∈ （x1，x2），則存在q1，q2＞0，q1＋q2＝1，使得x＝q1x1＋q2x2，過點(diǎn)x作ax軸的垂線交函數(shù)于A，交A1、A2于B，則上式左端即為A點(diǎn)縱坐標(biāo)，右端即為B點(diǎn)縱坐標(biāo)。因此，凸函數(shù)的幾何意義就是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)A1與A2之間的部分位于弦A1A2的下方或曲線在任一點(diǎn)切線上方。

從而由上述凸函數(shù)幾何性質(zhì)有

三、凹凸率與凹凸函數(shù)

2、性質(zhì)：設(shè)兩連續(xù)且單調(diào)函數(shù)f（x），g（x）存在給定區(qū)間 D上的凹凸率函數(shù)。記為 Cf（x），Cg（x）分別為其凹凸率函數(shù)，若 Cf（x）＞Cg（x）在區(qū)間D上恒成立，則稱g（x）在區(qū)間D上的凸性強(qiáng)于f（x）（或f（x）在區(qū)間D上凸性若于g（x））記分別為 x1，x2的 f（x），g（x）均數(shù)（x1，x2均定義區(qū)間且 x1≠x2g（x）），則有：

四、凹凸函數(shù)應(yīng)用定理

定理可以直接由控制不等式的理論得出，見定理5.5

當(dāng)然，若f（x）是嚴(yán)格凹函數(shù)，則定理1和推論1中不等號反向。

如同推論 1，設(shè)正實(shí)數(shù) xi≤p，i＝1，2，...，n，其余條件不變，若 f（x）在區(qū)間［0，p］內(nèi)是嚴(yán)格凸函數(shù)，則定理2中右邊不等式是嚴(yán)格小于的，同樣對于f（x）是凹函數(shù)時不等號反向。

F（x1，s－x1，0...0）≤m.因此我們就有下面這個定理：

結(jié)語：綜上所述，利用凸函數(shù)定義及幾何特性證明不等式，關(guān)鍵的要根據(jù)所要證明不等式，選取相關(guān)的函數(shù)及適當(dāng)?shù)膞1，x2選取，此法雖然具有一定的構(gòu)造性，但證明的過程卻相對簡潔。