在高中數學中滲透高等數學理論

◎徐曉方

高等數學課程不但與其它學科聯系密切，而且亦是理科、工科及經管等專業學習的基礎，是整個大學課程學習的開端。清晰的內容結構和作為數學應用的基礎是高等數學課程的特點，使其成為大學數學的基礎課程之一。高等數學課程是我們建立知識體系的主要奠基學科，也是高中數學的發展和延伸。高等數學課程作為學習后繼專業課程的基礎，其教學目的主要是為了讓學生了解基本的知識和方法，培養其數學思維方式。高等數學課程包含了許多分支學科，我們在學習中可以發現，高等數學所研究的對象較高中數學來說有了更深層次的追求，涉及了很多新的概念，同時也強調了許多不同的量。我們不難發現，高等數學和高中數學的研究內容及特點有很多相似之處，但是其研究和運算方法卻更加繁雜。正因如此，高等數學課程在知識內容上是高中數學的繼續與拓展，在觀念上是高中數學的深化與發展，在思想方法上是高中數學的沿襲與擴張。本文將從知識方面、思想方面、學科自身性質方面及觀念方面探討高等數學課程與高中數學的聯系，同時分析并歸納高等數學理論在高中數學解題中的若干應用，探索高等數學理論在高中數學教學中的滲透作用。

一、高等數學課程與高中數學的聯系

非數學專業的學生在進入大學校門后最先接觸的數學基礎課程就是高等數學，該課程為非數學專業的三大數學類公共基礎課程之一，這表明了它在數學基礎課程中的重要地位。在接觸高等數學課程后，我們不難發現它和高中數學聯系十分密切，該課程是聯系初等數學、大學數學的樞紐。有些知識由于局限性使得在高中數學中我們無法深入了解，但是到了高等數學課程中就很容易得到解決。下面我們主要探討高等數學課程與高中數學在知識方面、思想方面、學科自身性質方面及觀念方面的聯系。

1.知識方面的聯系 高中數學課程中我們掌握了函數的概念、性質以及相關運算法則。學習了高等數學課程之后，拓寬了我們對函數更多的認識，深入學習了函數的性質，如函數的單調性、有界性、連續性、凹凸性及函數的極值等性質，相關的運算法則也有了較為嚴格的定義。同時，在高等數學課程中不僅對高中數學中所學習的函數導數給出了精確的定義，而且也拓寬了函數導數的性質及相關應用，尤其對函數導數的幾何意義做了深入剖析。另外，高中數學課程中所學習的各種初等函數、向量、參數方程、坐標系等知識為進一步學習高等數學課程奠定了理論基礎。綜合以上，不難看出高等數學課程和高中數學課程有很多聯系。它不但讓我們了解了許多高中數學中未能理解清楚的問題，而且以各個知識點作為實例，由淺入深，為高等數學的學習打下了堅實的基礎。

2.思想方面的聯系

（1）抽象化思想小學數學通過數具體物體的數量來學習數字，把我們引入了算術運算時期。中學數學通過未知數x，帶領我們走進研究簡單函數與方程的時期。高等數學課程開始研究抽象的函數問題，引入我們現在所常見的導數、積分、微分方程及多元函數等，使得數學的研究對象發生了巨大變化，這也是高等數學課程抽象化的原因。

（2）類比推理思想類比推理是數學教學中的一種常用思維方法。在數學學習及教學中，合理使用類比推理方法可以使抽象的數學知識變得具體而生動。

3.學科自身性質方面的聯系 由于初等數學到高等數學在研究問題和處理方法上有著很大的區別，人們通常認為大學數學中所學的專業知識在高中數學中幾乎無用。其實這是一種錯誤的理解，正是因為有了這樣的區別，我們才能從高中數學的解題思維定式中走出來，通過一種更深遠的眼光，站在一個更高的角度來看待高中數學問題。高等數學課程是高中數學的延伸和提高，只有對其基礎知識充分掌握，才能適應數學的發展和教材的改革。高等數學知識不僅可以提高學生的學習興趣，還可以拓寬視野，同時也能應用到中學數學題的解法中去，使復雜問題趨于簡便化。

二、課程內容在高中數學解題中的應用

1.導數理論在高中數學解題中的應用 導數理論是高中數學的重要內容，但在高中數學中主要側重于學習導數的基本運算，對導數的嚴格定義、理論證明和重要應用沒有深入講解。另一方面，導數理論也是高等數學課程研究的主要內容之一，它使各個章節的內容聯系得更加緊密，為高等數學的基本內容提供了理論基礎。導數理論與高中數學有著密切的聯系，該理論在初等數學中有著非常重要的應用，對高中數學解題起到了“居高臨下”的作用。相比高中數學內容，高等數學的導數理論無論是深度、廣度還是規范化程度都明顯增強了。在目前的高中數學教材中，導數理論處于一種特殊的地位。為使學生能夠更好地理解函數的性態以及掌握函數思想在數學上的應用，對于一些不能采用或者難以采用初等數學方法解決的問題，一般可通過建立函數關系式，運用函數思想，并借助于導數這個有力工具來研究其性質，輕松簡捷地獲得問題的解決，這充分體現了導數工具性和應用性的重要作用。在高中數學課程改革背景下，導數知識已經作為高中數學的重要模塊之一，這為高等數學課程教學奠定了堅實的基礎。反過來，高等數學課程中的導數理論是高中數學中相關內容的發展與深化，其應用非常廣泛，幾乎涉及到高中數學內容的各個方面，對高中數學的教學與競賽具有理論指導意義。

2.極限理論在高中數學解題中的應用 極限是高等數學課程內容中的基本概念，是研究微積分學的重要工具。極限理論在高中數學與高等數學中起著承上啟下的作用，下面通過舉例闡述極限思想在高中數學里的體現。通過這些例題學習與分析來提高對極限思想方法的理解力，進一步揭示用極限思想方法解決問題的簡捷性和優越性。