二項分布中概率的最大值問題

李中朝 李連國

摘 要 剖析概率中的一種特殊分布——二項分布的特點，理論結合實際，說明二項分布的這些特點，本文借助例題，進一步挖掘二項分布的內涵，讓讀者對二項分布更進一步了解。

關鍵詞 二項分布；概率；伯努利試驗

中圖分類號：F224.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）24-0229-01

二項分布是應用最廣泛的離散型隨機變量概率模型，也是高考常考的的重點內容之一。對其探究很有價值和意義。學生在學習此塊內容時，往往會提出這樣一個問題，服從二項分布的隨機變量取何值時概率最大？實際上，高中數學教科書的選修2-3（人教A版）第58頁思考題就是該問題。問題如下：如果ξ～B（n，p），其中0

我查閱了和本書配套教學參考書，教學參考書沒有對此問題進行專門解釋。下面對該問題進行研究。

一般地，在n次獨立重復試驗中，用ξ表示事件 發生的次數，如果事件發生的概率是p，則不發生的概率q=1-p，N次獨立重復試驗中發生K次的概率

那么就說ξ服從二項分布，其中P稱為成功概率，記作ξ～B（n，p），其期望：Eξ=np

ξ的分布列如下：

容易驗證其各項概率之和恒為1，即 =

由此可見，二項分布的概率 恰好是二項式 的展開式中的第 項，這也正是二項分布這個名稱的由來。

二項分布是離散型分布，已知 ，x為不連續變量。下面用概率直方圖研究。

圖像有如下性質：

1.當 時，不論 大小，圖形都是對稱的。

例如， ， ，此時 。

=

2.當 時，概率直方圖圖形是偏斜的。當p<0.5時左偏，當p>0.5時右偏。如果 很大，即使 ，圖像也逐漸趨于對稱分布。隨著n變大其圖像逼近正態分布。何謂 很大呢？一般規定：當 且 ，或 且 時，認為 很大。可以用正態分布的概率作為其近似值。此時p（ξ=k）概率隨 值增加而變大，其達到最大值后再遞減，圖像近似滿足關于期望 對稱。

下面解決開始的問題：一般地，如果 ，其中 。

k需滿足{ 解得：

由結論可知：

（1）當 不為整數時，二項概率P{X=k}在k=[（n+1）p]時達到最大值；

（2）當 為整數時，二項概率P{X=k}在k=（n+1）p和k=（n+1）p-1時達到最大值。

注：[x]為不超過x的最大整數。

下面通過一個例題體會一下：

例1.當 ，試求 分別為以上五種情況時，服從二項分布的隨機變量 取何值時，p（ξ=k）最大？

解：（因較好理解，本題不再配圖。）由于

（1）當 時， ，所以 ，所以 .此時概率的最大值在左端點，圖像嚴重左偏。

（2）當 時， ，所以 ，所以 。和（1）比較，此時圖像左偏情況減弱。

（3）當 時， ，所以 ，所以 。此時圖像比較對稱，概率最大值分布在np= 兩側。

（4）當 時， ，所以 ，所以 。和（3）比較，圖像向右偏移。

（5）當 時， ，所以 ，所以 。此時概率的最大值在右端點，圖像嚴重右偏。

下面用概率條形圖研究：

看 和 時，（1）n=5和（2）n=10 和（3）n=30共四個的頻率分布條形圖如下

說明：上圖中的 就是 。

觀察上面四個圖，可以看出在概率分布條形圖中，也呈現出和概率分布直方圖相同的性質。

如果以上問題明白了，像下面的問題可以直接秒殺。

1.如果 ， 取得最大值時， ____

2.如果 ， 取得最大值時， _____

答案：1.8 2.6或7