基于ARMA-GARCH模型的醫(yī)療衛(wèi)生指數(shù)股票對(duì)數(shù)收益率序列分析

鄭駿駿

由于新冠肺炎疫情影響，選取上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)進(jìn)行時(shí)間序列模型實(shí)證分析。首先，對(duì)指數(shù)序列進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析，建立ARMA模型，然后通過(guò)模型檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)模型的殘差存在條件異方差性，再進(jìn)行GARCH模型的建模，隨后通過(guò)AIC值選擇得到ARMA（2，3）-GARCH（1，1）模型，最后通過(guò)檢驗(yàn)得到充分的模型確定其有效性，得出上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率序列存在波動(dòng)聚集性和ARMA-GARCH也使用于板塊指數(shù)分析的結(jié)論。

一、引言

伴隨著我國(guó)科技水平的不斷發(fā)展，我國(guó)醫(yī)療質(zhì)量水平持續(xù)改善，醫(yī)療技術(shù)能力不斷提升，人們對(duì)醫(yī)療服務(wù)的需求也越來(lái)越高。同時(shí)，新型冠狀病毒肺炎疫情之下，廣大股市投資者對(duì)于醫(yī)療板塊的股票關(guān)注度有所提升。股票市場(chǎng)的波動(dòng)性一直以來(lái)都是統(tǒng)計(jì)學(xué)的熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，基于近期的醫(yī)療板塊股票的大幅波動(dòng)和關(guān)注度的提升，并且以往的學(xué)者在這方面的研究涉及較少。因此，本文選取醫(yī)療板塊指數(shù)的股價(jià)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象是具有一定價(jià)值的。

在金融市場(chǎng)中存在著諸多不確定性，股票收益的波動(dòng)幅度也就是風(fēng)險(xiǎn)是隨著時(shí)間的變化而變化的。Engle（1982）提出了首個(gè)波動(dòng)率建模的系統(tǒng)框架，即一種自回歸條件異方差模型（ARCH），該模型中Engle用誤差項(xiàng)表示為前一時(shí)刻的函數(shù)，由此得到當(dāng)前時(shí)間的誤差項(xiàng)條件方差。Bollerslev（1986）在ARCH模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一個(gè)推廣形式的ARCH模型，被稱(chēng)為GARCH模型。本文基于ARMA-GARCH模型研究醫(yī)藥板塊股票的對(duì)數(shù)收益率序列的波動(dòng)率。

二、模型簡(jiǎn)介

（一）ARMA（p，q）模型

自回歸滑動(dòng)平均（ARMA）模型是由統(tǒng)計(jì)學(xué)家BOX和Jenkins在20世紀(jì)70年代提出的一種較高精度的時(shí)間序列模型。其模型可表示為：

其中是{Yt}是收益率序列，{εt}是白噪聲序列，即是一個(gè)具有有限均值和有限方差的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，p和q是非負(fù)整數(shù)，分別表示自回歸項(xiàng)和滑動(dòng)平均項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)。ARMA模型是AR模型和MA模型的結(jié)合，其中包含AR項(xiàng)和MA項(xiàng)。

（二）ARCH效應(yīng)及GARCH（m，s）模型

ARCH模型的基本思想是基于先前的信息集合下，某一時(shí)刻的噪聲服從一個(gè)分布，它的方差是一個(gè)隨時(shí)間變化的量（即為條件異方差），擾動(dòng)項(xiàng)本身是序列不相關(guān)的，但是序列是相互不獨(dú)立的。假設(shè)at服從ARCH（m）模型，若at滿(mǎn)足下式

其中{t}是均值為0、方差為1的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，其中a0>0，對(duì)i>0有ai≥0。GARCH模型是ARCH模型的推廣形式，對(duì)于一個(gè)對(duì)數(shù)收益率序列rt，令at=rt-μt為t時(shí)刻的新息，假設(shè)at服從GARCH（m，s）模型，若at滿(mǎn)足下式：

其中{t}是均值為0、方差為1的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，這里a0>0，ai≥0（αi+βi）<1。αi和βi分別表示ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)的參數(shù)。

三、實(shí)證分析過(guò)程

（一）數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理

本文選取上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)作為研究對(duì)象并運(yùn)用R統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，選取2015年5月27日至2020年5月26日的日收盤(pán)價(jià)，共計(jì)1218個(gè)樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)來(lái)源于CSMAR數(shù)據(jù)庫(kù)。本文對(duì)上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)日收盤(pán)價(jià)先取對(duì)數(shù)再作差分處理，即計(jì)算對(duì)數(shù)收益率序列。對(duì)數(shù)收益率序列計(jì)算公式如下：

其中，Pt表示t時(shí)刻的指數(shù)收盤(pán)價(jià)，表Pt-1示時(shí)刻的指數(shù)收盤(pán)價(jià)，rt表示日對(duì)數(shù)收益率。

（二）描述性統(tǒng)計(jì)分析

根據(jù)預(yù)處理之后的日對(duì)數(shù)收益率序列作描述性統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1：

根據(jù)表1可以看出，通過(guò)JB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)對(duì)數(shù)收益率序列的正態(tài)性檢驗(yàn)的結(jié)果顯示，p值<2.2e-16遠(yuǎn)小于0.05，即表示對(duì)數(shù)收益率序列不服從正態(tài)分布。

從圖1可以看出，上證380醫(yī)藥衛(wèi)生指數(shù)日對(duì)數(shù)收益率序列具有明顯的非堆成性并且在0附近波動(dòng)，且存在簇集特征，即大的波動(dòng)伴隨著大的波動(dòng)，小的波動(dòng)伴隨著小的波動(dòng)。

（三）單位根檢驗(yàn)

在建立ARMA模型前需要對(duì)序列的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)，本文采用單位根檢驗(yàn)法（ADF檢驗(yàn)）檢驗(yàn)對(duì)數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性。

H0：日對(duì)數(shù)收益率序列存在單位根（即序列非平穩(wěn)）

H1：日對(duì)數(shù)收益率序列不存在單位根

經(jīng)過(guò)計(jì)算ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的p值為0.01小于顯著水平α=0.05，故拒絕原假設(shè)，序列不存在單位根，即為平穩(wěn)時(shí)間序列。

（四）自相關(guān)性和偏相關(guān)性檢驗(yàn)

本文采用R統(tǒng)計(jì)軟件的系統(tǒng)自動(dòng)定階函數(shù)，根據(jù)AIC值來(lái)進(jìn)行模型選擇。最終，擬合得到ARMA（2，3）模型，結(jié)果如表2所示。

由表2的結(jié)果可知，模型的系數(shù)均是顯著的，然后進(jìn)行模型的診斷，對(duì)殘差序列進(jìn)行Box.test檢驗(yàn)，得到的p值為0.3318，大于顯著性水平α=0.05，故不拒絕原假設(shè)，說(shuō)明模型是充分的。

（五）ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

從上文中繪制的日對(duì)數(shù)收益率序列的時(shí)序圖中發(fā)現(xiàn)序列可能存在異方差性。于是，考慮建立波動(dòng)率模型。首先要進(jìn)行ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)，本文采用Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量Q（m）對(duì)序列{}進(jìn)行檢驗(yàn)。

H0：序列不存在ARCH效應(yīng)

H1：序列存在ARCH效應(yīng)

通過(guò)R統(tǒng)計(jì)軟件的檢驗(yàn)，Q（m）統(tǒng)計(jì)量的p值<2.2e-16，小于顯著性水平α=0.05，故拒絕上證380醫(yī)藥衛(wèi)生日對(duì)數(shù)收益率序列不存在ARCH效應(yīng)原假設(shè)，可以繼續(xù)建立波動(dòng)率方程。

（六）條件方差GARCH族模型

由上面的檢驗(yàn)得知，上證380醫(yī)藥衛(wèi)生日對(duì)數(shù)收益率序列具備GARCH效應(yīng)，假設(shè)殘差序列服從t分布，這里只討論模型的低階的情況，分別建立低階GARCH模型，根據(jù)AIC值選擇最優(yōu)模型。建模的過(guò)程具體如下：