“冪函數(shù)” 教學(xué)設(shè)計、反思及評析

楊永強 高勤

【教學(xué)分析】

一、教材分析

“冪函數(shù)”選自人教版高一數(shù)學(xué)教材必修1第2章第3節(jié).冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用.學(xué)生在初中曾經(jīng)研究過y=x，y=1/x，y=x2三種冪函數(shù)，這節(jié)內(nèi)容是對初中有關(guān)內(nèi)容的進一步概括、歸納與發(fā)展，是與冪有關(guān)的知識的高度升華，可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，落實學(xué)科核心素養(yǎng).從教材的整體安排看，冪函數(shù)的學(xué)習(xí)是為了讓學(xué)生進一步獲得比較系統(tǒng)的函數(shù)知識和獲取研究函數(shù)的方法，為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)等其他函數(shù)打下良好基礎(chǔ).

二、學(xué)情分析

學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，熟悉學(xué)案導(dǎo)學(xué)式的授課方式.通過之前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)會用描點畫圖的方法來繪制指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像，并能借助函數(shù)圖像來研究函數(shù)性質(zhì)，掌握了利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性來研究函數(shù)的方法，具備一定的數(shù)學(xué)思維和分析問題、解決問題的能力以及合作探究能力.

三、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：

1.通過實例了解冪函數(shù)的概念；

2.會畫簡單冪函數(shù)的圖像，并能根據(jù)圖像得出這些函數(shù)的性質(zhì)；

3.利用冪函數(shù)性質(zhì)比較大小.

過程與方法：

1.通過觀察、總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的概括抽象能力和識圖能力；

2.使學(xué)生進一步體會數(shù)形結(jié)合思想以及從特殊到一般的思維方式.

情感、態(tài)度與價值觀：

1.通過生活實例引出冪函數(shù)的概念，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；

2.通過師生、生生之間的討論、互動，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的邏輯推理能力.

四、教學(xué)重、難點

重點：常見的冪函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì).

難點：畫冪函數(shù)的圖像，引導(dǎo)學(xué)生概括出冪函數(shù)的性質(zhì).

【教學(xué)流程】

一、情境創(chuàng)設(shè)，問題引入

數(shù)學(xué)在生活中是無處不在的，下面讓我們看一下生活中的5個數(shù)學(xué)問題，請同學(xué)們讀題并解答.

這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的冪函數(shù)，請同學(xué)們齊讀本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)（學(xué)生齊讀本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)）.

投影顯示：學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解冪函數(shù)的概念；2.會畫簡單冪函數(shù)的圖像，并能根據(jù)冪函數(shù)的圖像得出冪函數(shù)的性質(zhì).

二、知識構(gòu)建，對照梳理

由5個特殊冪函數(shù)歸納出冪函數(shù)的定義，請學(xué)生觀察這5種冪函數(shù)的形式，看看它們有哪些共同特征.

投影顯示：y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1.

冪函數(shù)定義：一般地，我們把形如y=xa的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

投影顯示：判斷下列哪些函數(shù)是冪函數(shù)：（1）y=x4，（2）y=，（3）y=-x2，（4）y=x0，（5）y=2x，（6）y=x3+x.

答案：（1）（2）（4）是冪函數(shù).

解疑1：（5）是什么函數(shù)？（追問）指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)有什么區(qū)別？

答：自變量位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)上，指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)上.

解疑2：如何判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)？

答：自變量在底數(shù)上，指數(shù)為常數(shù)，系數(shù)為1，項數(shù)為1.

（教師引導(dǎo)）

根據(jù)a的不同，冪函數(shù)是千變?nèi)f化的，其中有什么規(guī)律可循呢？我們再來看這5個解析式，我們就以它們?yōu)榇恚芯績绾瘮?shù)的性質(zhì).我們要研究冪函數(shù)的性質(zhì)，往往要借助冪函數(shù)的圖像.大家看這里，有沒有我們學(xué)過的函數(shù)？

投影顯示：y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x .

請同學(xué)們快速借助學(xué)案中的網(wǎng)格坐標(biāo)系，在同一坐標(biāo)系中畫出你熟悉的函數(shù)的圖像（學(xué)生在黑板上教師所畫坐標(biāo)系中畫出圖像，教師糾正）.

這里有兩個陌生的函數(shù)y=x3，y=x ，我們?nèi)绾萎嫵龊瘮?shù)的圖像？采用怎樣的步驟呢？

列表、描點、連線（學(xué)生在黑板上教師所畫坐標(biāo)系中畫出圖像）.

為了有所區(qū)分，教師在黑板上用不同顏色的粉筆分別畫y=x3和y=x 的圖像.

教師用幾何畫板在同一坐標(biāo)系當(dāng)中畫出了這5個冪函數(shù)的圖像，請學(xué)生觀察圖像的分布特征，哪些象限里有冪函數(shù)的圖像.

投影顯示：列表、描點、連線做出的圖像；用幾何畫板在同一坐標(biāo)系當(dāng)中做出的5個冪函數(shù)的圖像（如圖）.

探究1：冪函數(shù)的圖像分布的象限特征.

答案：冪函數(shù)在第一象限都有圖，在第四象限都沒有圖.

探究2：冪函數(shù)在第一象限圖像的變化趨勢是什么？如何繪制其他冪函數(shù)在第一象限的圖像？

教師引導(dǎo)：為了幫助大家明確各冪函數(shù)圖像的變化趨勢，在這里引入兩條線，分別是x=1，y=1，這樣就將第一象限分成了四個部分，分別用①②③④區(qū)域來表示.

得到性質(zhì)：（1）如果a>0，則冪函數(shù)圖像過第一、三區(qū)域，是增函數(shù)；如果a<0，則冪函數(shù)圖像經(jīng)過第二、四區(qū)域，是減函數(shù).（2）在各區(qū)域內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)a逐漸增大.

探究3：歸納冪函數(shù)的性質(zhì).

學(xué)生在黑板上歸納每一個冪函數(shù)的性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生檢查并改正表格填寫中的問題.

探究4：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是根據(jù)a的不同而不同，它們有什么共性？（學(xué)生小組討論后分享組內(nèi)同學(xué)研究出的共性特征.）

答案：指數(shù)是奇數(shù)時函數(shù)為奇函數(shù)，指數(shù)是偶數(shù)時函數(shù)是偶函數(shù)；在第一象限內(nèi)，指數(shù)大于零時函數(shù)是增函數(shù)，指數(shù)小于零時函數(shù)是減函數(shù).

總結(jié)：奇偶性，看指數(shù)，指奇奇，指偶偶；一象限，正遞增，負遞減.

探究5：如果冪函數(shù)在其他象限有圖像，那么我們可以利用冪函數(shù)的什么性質(zhì)來補全它的圖像呢？

答案：奇偶性.

三、重難突破，探究解惑

例1 函數(shù)f （x）=（m2-m-1） xm -2m-3是冪函數(shù)，且在（0，+∞ ）上是減函數(shù)，求m的值.（投影顯示例1，學(xué)生在屏幕上書寫計算）.

歸納提升：這是有關(guān)冪函數(shù)定義的應(yīng)用，明確冪函數(shù)的定義.

例2 比較大小

（投影顯示例2，學(xué)生說答案，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)冪函數(shù)性質(zhì)解題.）

歸納提升：利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小.

四、歸納總結(jié)，提升能力

冪函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì).

五、知識反饋，作業(yè)鞏固

學(xué)案作業(yè)：完成，限時反饋.

【教學(xué)反思】

冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型，是學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本初等函數(shù).學(xué)生已經(jīng)有了對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，本節(jié)課要使學(xué)生再次經(jīng)歷函數(shù)的研究過程，獲得學(xué)習(xí)體驗，落實學(xué)科核心素養(yǎng).

以學(xué)生為主體，讓學(xué)生經(jīng)歷知識構(gòu)建的過程.本節(jié)課先由生活中的實際問題入手，得到5個函數(shù)解析式，通過引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這5個特殊冪函數(shù)的共同特征得出冪函數(shù)的定義.整節(jié)課都圍繞5個特殊函數(shù)展開，教學(xué)設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)結(jié)構(gòu)完整而連貫.學(xué)生通過采用歸納類比的邏輯推理來舉一反三，形成合乎邏輯的思維方式和有條理性的交流方式，學(xué)科核心素養(yǎng)在過程中得以落實.

設(shè)置系列探究問題，提升學(xué)生探究能力.本節(jié)課無論是概念的生成、圖像的繪制還是性質(zhì)的歸納，都使學(xué)生感受到從特殊到一般的邏輯推理過程和層層遞進的研究方式.在冪函數(shù)圖像繪制的教學(xué)環(huán)節(jié)，由特殊函數(shù)圖像到第一象限函數(shù)圖像趨勢，再到繪制任意冪函數(shù)在第一象限的圖像，更是對學(xué)生邏輯推理能力的一大考驗.我通過5個探究問題將難點分解，分層遞進、逐一解決，讓學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、解決問題的全過程.

利用課堂生成問題，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.本節(jié)課涉及到很多冪函數(shù)圖像，學(xué)生的繪制過程并不順利，但我在授課過程中引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識合作交流、相互補充，并隨時幫助學(xué)生修改所繪制的圖像，動態(tài)演示冪函數(shù)圖像的變化趨勢，有效地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解決問題的共性、通法.

用“導(dǎo)學(xué)案”有效延伸學(xué)生的學(xué)習(xí)空間.利用“導(dǎo)學(xué)案”的課前篇和課后篇將學(xué)生的學(xué)習(xí)過程覆蓋到課前及課后，并在本節(jié)課的課堂教學(xué)中充分引導(dǎo)學(xué)生，嘗試放手讓學(xué)生自主合作探究，在學(xué)生暴露問題時不急于灌輸答案，而是啟發(fā)學(xué)生互相補充，直至解決問題.

剖析存在的問題，提升教學(xué)能力.在課堂教學(xué)中，放手給學(xué)生的幅度越大對教師的課堂駕馭能力就越是一種考驗，我在這方面的能力仍顯薄弱，表現(xiàn)是：放得開，收得卻不夠及時果斷，掌控駕馭課堂的能力仍需提高.

【評析】

本節(jié)課是一節(jié)比較成功且精彩的“百花獎”現(xiàn)場課，楊老師采取“以問題為核心、以啟發(fā)為主導(dǎo)”的教學(xué)方法，借助自己編寫的學(xué)案，營造了教師點撥引導(dǎo)、學(xué)生積極參與、師生共同探討的課堂氛圍，對如何在課堂教學(xué)中落實高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做了大膽嘗試，教學(xué)效果良好，具體表現(xiàn)在以下幾方面.

1.教學(xué)設(shè)計合理.

本節(jié)課在充分分析教材和學(xué)情的基礎(chǔ)上，設(shè)定了合理的教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)內(nèi)容，突出了重點，突破了難點.既幫助學(xué)生形成了冪函數(shù)的完整知識結(jié)構(gòu)，又引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法再次體驗了函數(shù)的一般研究方法，將數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整節(jié)課的教學(xué)，有助于學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的形成.在本節(jié)課中，學(xué)生真正成為了學(xué)習(xí)的主體，在整個教學(xué)過程中，教師幾乎沒有代替學(xué)生得出過任何結(jié)論，教師總是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)他們找到解決問題的途徑，獲得學(xué)習(xí)體驗.

2.“問題”的設(shè)計精準(zhǔn)有效.

教師對問題的設(shè)計頗下了一番功夫，問題的梯度搭建合理，問題串的核心直指數(shù)學(xué)本質(zhì).教師設(shè)計出的一系列問題貼近學(xué)生生活、融合學(xué)生已有認知、引發(fā)思維沖突、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維本質(zhì)，同時又富有挑戰(zhàn)性.學(xué)生在教師設(shè)計的問題串的引導(dǎo)下最終形成了比較完整的知識網(wǎng)絡(luò).

引入“問題”有針對性.“生活中的5個數(shù)學(xué)問題”針對學(xué)情，貼近學(xué)生已有知識經(jīng)驗，激發(fā)了學(xué)生探究的興趣，并在解決這些問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生歸納出了冪函數(shù)的概念.

解疑及追問的“問題”有方向性.教師把問題設(shè)在學(xué)生有疑之處，引起了學(xué)生的認知沖突，而問題一旦得以解決，學(xué)生就會有“柳暗花明”的感覺，有極大的成就感，從而激起進一步探究的欲望.

探究“問題”有調(diào)控性.教師所設(shè)計的一系列探究問題既有較強的可操作性，促進學(xué)生動手、動腦，又有一定的開放空間，使學(xué)生通過合作、探究、交流，將思維引向深入.

3.“導(dǎo)學(xué)案” 使用得當(dāng).

這節(jié)課的導(dǎo)學(xué)案既有學(xué)習(xí)目標(biāo)的引領(lǐng)，又有學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，還有為探究本節(jié)知識所設(shè)計的問題串，更有問題的反饋和回收，將課堂比較好地延伸到了課前和課后，有效地促進了核心素養(yǎng)的落實.學(xué)案的課前篇比較好地引導(dǎo)學(xué)生進行課前的自主探究，課上篇的完成突出了本節(jié)課的重點，突破了本節(jié)課的難點.

存在的問題及建議：

課堂上越放手，對教師的課堂掌控能力要求越高.本節(jié)課楊老師在個別環(huán)節(jié)上實現(xiàn)了放得開，但收得卻不夠及時果斷，效果欠佳，駕馭課堂的能力仍需提高。比如最后一道例題是培養(yǎng)學(xué)生運算能力的最好時機，楊老師能夠在學(xué)生暴露運算問題時不急于灌輸答案，而是啟發(fā)學(xué)生互相補充，直至解決問題，但前面探究時間過長，習(xí)題的講解稍顯匆忙。建議在例題的講解過程中采用實物投影的方式展示學(xué)生的解題過程，讓學(xué)生合作解決問題，從而實現(xiàn)對知識的升華。