關于求參量取值范圍的幾點思考

江勝洪

【摘要】求參量取值范圍問題是高考備考的重要內容，題目也是種類繁多，不同類型必然會有不同解法，本文旨在拋磚引玉，將平時的一些思考作了如下總結.

【關鍵詞】變量；參量；集中；絕對值；恒成立

高中數學中的求范圍問題向來是函數的一個難點，尤其是已知參量范圍求變量范圍，或是已知變量范圍求參量范圍，讓學生絞盡腦汁，現在筆者提供三種方法，在解題中思路明確，解法簡潔，現舉例說明.

方法一：參量一頭，變量一頭

例1對任意實數x，若不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立，則實數k的取值范圍是（）.

A.k≥1B.k >1C.k≤1D.k<1

解析此題的特點是：含有變量的表達式直接在不等號的左側，而參量k在不等式的右側，實現了參量一頭，變量一頭.k小于一個范圍恒成立，則k小于這個范圍的最小值，于是，只需求左側函數y=|x+2|+|x+1|的最小值即可.顯然，y=|x+2|+|x+1|∈1，+∞，所以k<1.

例2已知f（x）=x2+2（a-2）x+4，如果對x∈[1，2]，f（x）>0恒成立，那么實數a的取值范圍是

解析此題已知變量的范圍，求參量的范圍.x2+2（a-2）x+4>0，先整理成關于a的一次函數的形式，即2ax+x2-4x+4>0，通過移項有2ax>-x2+4x-4，因為x>0，此不等式可轉化為2a>-x2+4x-4x=-（x+4x）+4，這樣就做到了參量一頭，變量一頭.2a大于一個范圍恒成立，則2a大于這個范圍的最大值，而y=-x+4x+4的最大值為0，所以2a>0，即a>0.

方法二：化參為變，化變為參

例3對于滿足0≤p≤4的一切實數，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，則x的取值范圍為.

解析給出了參量的范圍，求變量的范圍.我們可以轉變一下思路，將參量看作是變量，將變量看作是參量，先整理成關于p的一次函數的形式，通過變形可以看到：（x-1）p+x2-4x+3>0，那么，在0≤p≤4得范圍內，函數圖像就是一段線段，要想讓線段上的所有點的函數值都大于零，只需讓線段兩個端點的函數值大于零，于是，令f（0）>0f（4）>0解得x的取值范圍為x>3或x<-1.

方法三：構造函數，控制圖像

例4不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是.

解析當a-2=0，即a=2時，-4<0滿足題意.

當a-2≠0時，構造函數y=（a-2）x2+2（a-2）x-4，要想讓所有的函數值都小于零，只需要二次函數開口向下，與x軸無交點，而這種圖像用不等式來控制就是a-2<0Δ<0，解得-12

例5若直線y=2a與函數y=|ax-1|（a>0且a≠1）的圖像有兩個公共點，求a的取值范圍.

解析當0

由已知得0<2a<1，即0

當a>1時，y=|ax-1|.

由已知得0<2a<1，即01矛盾.

綜上可知，a的取值范圍是0