高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題探究

張凱

【內(nèi)容摘要】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)問題。雖然自初中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)以來，掌握了二次函數(shù)反比例函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容，但是對(duì)拋物線、雙曲線等知識(shí)并未形成系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。因此本文將基于此對(duì)高中數(shù)學(xué)圓錐曲線的解題方式進(jìn)行探究。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)圓錐曲線解題

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，一般而言圓錐曲線的圖形分為橢圓、雙曲線和拋物線這三種形式。而在進(jìn)行圓錐曲線的學(xué)習(xí)時(shí)還會(huì)涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，如相交、相切、相離。如何在眾多關(guān)系中找到更加簡(jiǎn)便的解題方法是至關(guān)重要的。對(duì)于圓錐曲線而言 ，三種圓錐曲線的方程和性質(zhì)是教學(xué)的重點(diǎn)，如取值范圍、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、離心率等。而圓錐曲線的難點(diǎn)就是圓錐曲線的綜合應(yīng)用。下文將從不同的幾種方式簡(jiǎn)談圓錐曲線如何解題。

一、運(yùn)用定義進(jìn)行解題

定義是圓錐曲線的基礎(chǔ)，因此在教學(xué) 的過程中需要讓學(xué)生熟練掌握定義，并能夠舉一反三，利用定義進(jìn)行解題。例如在這樣一道經(jīng)典例題中，便是用定義求解的。

例如：如圖線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，AC=2，P為移動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于D。現(xiàn)在我們?cè)O(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x），則f（x）的定義域和最值是什么？

根據(jù)這道題的題目我們可以知道PD=PB，且PD+PC=BC=6，又因?yàn)镃D=CA=2。這時(shí)我們就可以根據(jù)圓錐曲線的定義進(jìn)行求解。我們知道焦距為2，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)是6，那么根據(jù)定義我們知道短軸的長(zhǎng)為42，因此PC=22，同時(shí)當(dāng)△CPD的面積為最大時(shí)也就是22.這道題雖然是讓求定義域和最大值，其實(shí)就是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)舉例之和為定長(zhǎng)時(shí)，我們就應(yīng)該聯(lián)想到橢圓定義，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的解題。

二、運(yùn)用化歸思想解題

在高中數(shù)學(xué)雙曲線解題中，如果一味運(yùn)用定義生搬硬套，有時(shí)會(huì)讓題目變得錯(cuò)綜復(fù)雜。而化歸思想是數(shù)學(xué)解題的利刃，可以讓復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，讓陌生的問題熟悉化。因此在雙曲線解題過程中巧妙運(yùn)用化歸思想解題是十分有效的。

例如已知橢圓方程的焦距為23，離心率為32 。求橢圓方程并設(shè)橢圓定點(diǎn)B（0，b）的斜率為k的直線交橢圓于D，交X軸于E，且成等比數(shù)列，求k2。

這道例題的第一問很簡(jiǎn)單，需要依靠定義和題目條件按部就班求解就可以。但是在第二問的求解上就十分值得思考了。通常我們可以按照常規(guī)思路把B、D、E的坐標(biāo)用斜率表示出來然后在把的長(zhǎng)度代入表示出來，最后求得k2的值。這一思路看似很直接、簡(jiǎn)單，但是在實(shí)際解決中會(huì)發(fā)現(xiàn)有十分巨大的運(yùn)算量，因此這種方式十分費(fèi)力不討好。基于這個(gè)思路可以進(jìn)行改良，將B、D、E的坐標(biāo)用斜率表示出來后將投影到y(tǒng)軸并利用相似三角形來求解。這就運(yùn)用了化歸思想，讓復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，讓陌生的問題熟悉化。根據(jù)已知條件我們可以得知橢圓方程為x24+y2=1，過B點(diǎn)的直線為y=kx+1。通過聯(lián)立這兩個(gè)方程，可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，由于呈等比數(shù)列，所以|BE|2=|BD||DE|，然后求解可得出k2的值。

三、運(yùn)用參數(shù)方程解題

參數(shù)方程是相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容，雖然在高中階段的運(yùn)用的不是十分普遍，但是對(duì)于解決一些圓錐曲線的問題十分有幫助。因此在教學(xué)的過程中，教師應(yīng)該向?qū)W生講解基礎(chǔ)的參數(shù)方程的應(yīng)用問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用參數(shù)方程解決橢圓方程。

例如矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，橢圓的方程為x2a2+y2b2=1，同時(shí)對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸，求矩形的面積最值。

在橢圓方程x2a2+y2b2=1的坐標(biāo)可以表示為（acosθ，bsinθ），然后用它表示出矩形的面積。在這道例題中，運(yùn)用參數(shù)方程描述橢圓上的坐標(biāo)，由于只有 一個(gè)變量，因此這個(gè)公式是只有一個(gè)自變量的解析式。運(yùn)用參數(shù)方程的方式可以將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)來解題，是十分有效的一種方式。

圓錐曲線問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，所蘊(yùn)含的內(nèi)容十分豐富，解題方式也十分靈活多樣。本文只是選取了幾個(gè)教學(xué)方式進(jìn)行了探究，圓錐曲線內(nèi)容仍有很多方面值得教育工作者去探究。希望通過本文可以起到拋磚引玉的作用，讓課堂教學(xué)更加高效，讓學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線更加得心應(yīng)手。

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（作者單位：安徽省合肥市第十七中學(xué)）