如何運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題的研究

黃清鵬

【內(nèi)容摘要】導數(shù)的學習和解決方法的掌握，不僅是高中數(shù)學重要的組成部分，在高考中也是作為考試的考查重點。含參函數(shù)問題主要是以函數(shù)為載體，運用導數(shù)工具來解決這一類問題，這是一種方法，主要是考查函數(shù)性質(zhì)，促進學生深入研究和分析導數(shù)和更好地應用導數(shù)。因此，運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題，必須把握好最近幾年函數(shù)命題的規(guī)律，深入了解和分析導數(shù)的性質(zhì)和應用，結(jié)合試題特點和命題趨向的同時，要充分運用導數(shù)來解決含參函數(shù)問題。要把握好導數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)導數(shù)來求出含參數(shù)函數(shù)問題中參數(shù)的取值范圍，這種求存在性問題是常考的范圍，也是常規(guī)的解題思路，通過等價轉(zhuǎn)化將復雜的數(shù)學思想進行簡單轉(zhuǎn)化，有利于將學生不熟悉、復雜的問題簡單化，進而變?yōu)樗麄兪煜ぁ⒁?guī)范和簡單的含參函數(shù)問題。運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題，對提高學生對導數(shù)性質(zhì)認識和創(chuàng)新方法與思路去解決含參函數(shù)問題具有極強的指導意義。

【關鍵詞】含參函數(shù)問題導數(shù)數(shù)學

歷年高考試題中常常出現(xiàn)含參函數(shù)問題，這考察的不僅是學生對含參函數(shù)問題的解決能力，也是學生解題思路的一種培養(yǎng)。常用的解題方法就是導數(shù)求解法。實際上，學生對這類含參函數(shù)問題比較頭疼和恐懼，因為此類問題涉及的數(shù)學知識內(nèi)容多、面廣，具有極強的綜合性。學生面對這類問題時，不知道如何確定參數(shù)范圍，也不知道所包括的函數(shù)關系或不等關系是怎么來的。含參函數(shù)問題以函數(shù)為載體，對學生函數(shù)性質(zhì)及導數(shù)應用的考察要求較為嚴格，也是近些年高考數(shù)學命題的趨向。實際上，運用導數(shù)解決含參數(shù)函數(shù)問題，求參數(shù)取值范圍，作為探索性問題對于數(shù)學解題來說非常常見，通過等價轉(zhuǎn)化來把握住數(shù)學思想，就可以將這些復雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成為學生熟悉的、規(guī)范的和簡單的問題。運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題，就是基于不等式的結(jié)構特征，把握好含參數(shù)不等式的存在性，適當構造函數(shù)，來探討含參函數(shù)的最值，利用導數(shù)就可以求出范圍。

一、運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題的相關分析

運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題，對于學生來說既是數(shù)學學習的重點和難點，也是數(shù)學教師教學的重點和難點，同時它作為高考的熱點又不得不進行學習。這類問題的解決引起了師生廣泛的關注，主要是用來考查學生對導數(shù)的運用能力，判斷學生對函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等思想的掌握程度和理解能力。在一定程度上，這不僅是新課程理念的要求，也是提高學生數(shù)學知識實際應用的重要途徑，要充分把握含參函數(shù)問題的復雜性，有針對性地解決才可以。

運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題，要構建科學的知識目標、能力目標、情感目標，把握好教學重點，引導學生創(chuàng)新學習思路。學生運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題，就必須掌握“利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的方法，深入研究和理解這個過程中極值、最值之間的區(qū)別與聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想在問題中的滲透，在問題解決中培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力，促進學生形成化歸意識，著力通過此類問題激發(fā)學生創(chuàng)造性潛能，深入學習函數(shù)單調(diào)性與數(shù)形結(jié)合的一系列問題，并增強學生對數(shù)學知識簡約美的體驗和感受，在極值、最值中不斷探索，激發(fā)學生“學好數(shù)學”的興趣和信心。

對于“含參函數(shù)”問題來說，主要思路包括以下集中：

1、“已知函數(shù)的切線，利用導數(shù)求出參數(shù)的值”；

2、“已知函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求出參數(shù)范圍”；

3、“已知函數(shù)的最值，利用導數(shù)求出參數(shù)范圍”；

4、“已知函數(shù)的極值，利用導數(shù)求出參數(shù)范圍”；

5、“利用導數(shù)解決含參函數(shù)中的恒成立問題”。

本文將選擇幾種進行案例演示，充分闡述運用導數(shù)解決含參函數(shù)問題的思路。

二、 已知函數(shù)切線求參數(shù)值問題

對于已知函數(shù)切線求參數(shù)值這一類問題，學生要把握好導數(shù)的幾何意義，要想方設法簡化原問題，促進復雜問題簡單化，將這類問題變?yōu)閷W生自己熟悉的問題，再進一步求解算出參數(shù)值。 但是，我們都知道數(shù)學深奧，具有極強的復雜性，同一個數(shù)學問題可以以千變?nèi)f化的形式出現(xiàn)，形式多樣的參數(shù)問題同樣有千變?nèi)f化和靈活多變的方法來解決，對于這類技巧性較強的問題學生必須學會以不變應萬變。拿到題目不要急于解題，而是深入研究和分析題目想考察的內(nèi)容，確定好研究思路，把握好題目的具體題設條件和不等式的結(jié)構特征，學會從多個角度、方向?qū)@類問題進行分析探討，才能選擇適當?shù)姆椒ǎ瑥亩焖贉蚀_地解答這類問題。數(shù)學解題中各種方法又是相互融合的，具有一定的關系，要摸清楚參數(shù)問題的考察內(nèi)容，掌握基本題型，綜合運用各種解題方法，對學生問題分析和解決能力的培養(yǎng)也具有積極的作用。

例1. （2016湖北高考模擬卷試卷）已知函數(shù)f（x）=x3+ax+b的圖象是曲線C，直線y=kx+1與曲線C相切于點（1，3）.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；

（3）求函數(shù)F（x）=f（x）-2x-3在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值.

解答：（1） ∵切點為（1，3），∴k+1=3，得k=2.∵f′（x）=3x2+a，∴f′（1）=3+a=2，得a=-1.則f（x）=x3-x+b.由f（1）=3得b=3.∴f（x）=x3-x+3.

（2） 由f（x）=x3-x+3得f′（x）=3x2-1，令f′（x）=3x2-1>0，

解得x<-33或x>33

∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-33），（33，+∞）.

（3） F（x）=x3-3x，F(xiàn)′（x）=3x2-3令F′（x）=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1.列出x，F(xiàn)′（x），根據(jù)F（x）關系

∴當x∈[0，2]時，F(xiàn)（x）的最大值為2，最小值為-2.

這是我們已經(jīng)知道了函數(shù)切線方程，相應地我們就知道切線斜率，利用導數(shù)方法，主要是需要求出切點坐標，或者是利用導數(shù)方法求出曲線中的未知參數(shù)，把握曲線其他性質(zhì)的同時，就可以列出方程，進一步求得切點坐標和參數(shù)的值。

三、 已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題

在數(shù)學中已知等式恒成立來求相關的參數(shù)，這一類問題非常常見，廣泛出現(xiàn)于高中各類考試中，也深受高考命題專家“青睞”。我們在解答這類問題的過程中，要學會利用導數(shù)知識對其巧妙求解，這也需要學生具有較高的導數(shù)思維和應用意識。

結(jié)束語

實際上，利用導數(shù)解決含參函數(shù)問題，主要思路是萬變不離其宗的，但是數(shù)學博大精深，同樣一個問題可以以千變?nèi)f化的形式出現(xiàn)，但是只要掌握基本的方法和思路，就可以靈活多變的運用導數(shù)來解決這一類問題。還需要把握好一個基本原則，就是將復雜的、我們不熟悉的含參函數(shù)問題簡單化，通過一定的思路變成我們熟悉的、常見的和簡單的問題，無論是哪種形式出現(xiàn)，我們都可以快速解答求出答案。

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（作者單位：福建省南安市新僑中學）