淺談利用導數解決與不等式有關的問題

陳露

【關鍵詞】導數不等式單調性最值

導數是高中生學習函數性質的一種重要工具。例如求函數的單調區間、求最大（小）值、求函數的值域等等。而在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數的性質；因此，很多時侯可以利用導數作為工具得出函數性質，從而解決不等式的一些問題。下面我簡單探討導數在解決與不等式有關的問題時的作用，請各位老師指導。

一、利用導數得出函數單調性來證明不等式

我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性，然后再用函數單調性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉化為證明函數的單調性。具體有如下幾種形式：

1.直接構造函數

直接構造函數，然后用導數證明該函數的增減性；再利用函數在它的同一單調遞增（減）區間，自變量越大，函數值越大（小），來證明不等式成立。

例1：x>0時，求證；x-x22-ln（1+x）<0

證明：設f（x）= x-x22-ln（1+x） （x>0）， 則f ′（x）=-x21+x

∵x>0，∴f ′（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上遞減，

所以x>0時，f（x）

2.合理變形后再構造函數

有時無法直接求導而利用函數單調性，此時把不等式變形后再構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，達到證明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b>a>e， 求證：ab>ba， （e為自然對數的底）

證：要證ab>ba只需證lnab>lnba 即證：blna-alnb>0

設f（x）=xlna-alnx （x>a>e）；則f′ （x）=lna-ax，

∵a>e，x>a ∴lna>1，ax<1，∴f ′（x）>0，因而f（x）在（e， +∞）上單調遞增

∵b>a，∴f（b）>f（a）；故blna-alnb>alna-alna=0；即blna>alnb 所以ab>ba成立。

（注意，此題若以a為自變量構造函數f（x）=blnx-xlnb （e

則f ′（x）=bx-lnb，f ′（x）>0時xblnb，故f（x）在區間（e， b）上的增減性要由e與blnb的大小而定，當然由題可以推測e>blnb

故f（x）在區間（e， b）上的遞減，但要證明e>blnb則需另費周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來構造函數好，由本例可知用函數單調性證明不等式時，如何選擇自變量來構造函數是比較重要的。）

二、利用導數求出函數的最值后，再證明不等式

導數的另一個作用是求函數的最值. 因而在證明不等式時，根據不等式的特點，可以構造函數，用導數求出該函數的最值；由當該函數取最大（或最小）值時，不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉化為函數求最值問題。

例3：f（x）=13x3-x， x1，x2∈[-1，1]時，求證：|f（x1）-f（x2）|≤43

證明：∵f ′（x）=x2-1， x∈[-1，1]時，f ′（x）≤0，

∴f（x）在[-1，1]上遞減.故f（x）在[-1，1]上的最大值為f（-1）=23

最小值為f（1）=-23，即f（x）在 [-1，1]上的值域為[-23，23]；

所以x1，x2∈[-1，1]時，|f（x1）|≤23]， |f（x2）|≤23]，

即有 |f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+ |f（x2）| ≤23+23=43

三、利用導數解決不等式恒成立問題

不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為m>f（x） （或m

例4：已知函數f（x）=（ax+x）9（a∈R），對f（x）定義域內任意的x的值，

f（x）≥27恒成立，求a的取值范圍

解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），由f（x）≥27對一切x∈（0，+∞）恒成立

知ax+x≥ = 對一切x∈（0，+∞）恒成立，

即a≥x-xx對x∈（0，+∞）恒成立

設h（x）=x-xx，則h′（x）=-32x，，由h′（x）=0解x=4 9

h′（x）>0時，解得00時x>4 9

所以h（x）在（0，4 9）上遞增，在（4 9，+∞）上遞減，

故h（x）的最大值為h（4 9）=49，所以 a≥49

總之，無論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過程中需要用到函數的單調性或最值，我們都可以用導數作工具來解決。這種解題方法也是轉化與化歸思想是高中學生解決數學問題的重要能力體現。

【參考文獻】

[1]趙大鵬：《3+X高考導練.數學》，中國致公出版社

[2]王宜學：《沙場點兵.數學》，遼寧大學出版社

[3]《狀元之路.數學》

（指導老師：耒陽市第二中學 龍小連）

（作者單位：耒陽市第二中學H1520班）