淺析直角三角形中特殊角的三角函數值的記憶法

朵興智 韓潤柏

初中學生到了九年級就開始接觸直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數的知識，這部分知識在計算物體的高度、寬度等實際問題中應用比較廣泛，學生在學習這部分知識時對公式的掌握較好，但在應用的過程中，往往對特殊角的三角函數值容易出現張冠李戴現象。究其原因是對特殊角的三角函數值的記憶不牢靠。現介紹幾種記憶特殊三角函數值的方法，供大家參考。

一、玩三角板法

此方法學生只需畫一副三角板即兩個直角三角形就可以了。如圖1、圖2

圖1是銳角為30°與60°的直角三角形。設三角形中30°角的對邊等于1，再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，就可以推出直角三角形的斜邊長為2，再根據勾股定理算出另一條直角邊長為3，最后根據正弦；余弦；正切的定義公式計算30°與60°角的三種三角函數值即可。如：sin30°=對邊：斜邊=1：2；tan30°=對邊：鄰邊=1：3；其它幾種30°與60°角的三角函數值以此類推。

圖2是銳角為45°的直角三角形。設兩條直角邊的長為1、1，根據勾股定理推算出斜邊長為2。最后根據正弦；余弦；正切的定義公式計算45°角的三種三角函數值即可。如：sin45°=cos45°=22； tan45°=cot45°=1。學生在應用中只需記住這兩個圖形即可。這樣既可以鍛煉學生的動手能力，又可以培養學生的數形結合的數學思想；而且還減輕了學生記憶的負擔。

二、規律法

此方法先讓學生列如下所示的表，學生通過觀察表中三角函數值的變化規律，即可得到以下結論：正弦值隨角度變化，即0°→30°→45°→60°→90°變化；值從0→12→22→32→1變化，余弦值隨角度的變化規律：即0°→30°→45°→60°→90°變化；值從1→32→22→12→0變化；正切值隨角度的變化規律：即0°→30°→45°→60°→90°變化；正切值從0 →33→1→3→不存在。在此基礎上可以讓學生進一步歸納出每一種三角函數的增減性，且對于特殊角的三角函數值而言，數值無非就是0；1；12；22；32；這幾個，所以學生如果掌握利用三角函數的增減性歸納出每種三角函數特殊角的函數值的變化規律，就能很熟練的記住特殊角的三角函數值。

三、口訣記憶法

口訣是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根號不能刪.”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分別是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根號內的值.弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母為2，正切的分母為3.最后一句，講的是各函數值中分子都加上根號，不能丟掉.如tan60°=273=3，tan45°=93=1.這種方法有趣、簡單、易記。

例1tan30°的值等于（）

A. 12B.32C.33D. 3

分析：本題就是典型的考察特殊角的三角函數值的記憶，學生完全可以通過上述方法解決，比如，可以畫一副三角板就能把問題解決。

解：選C.

評注：設三角形中30°角的對邊等于1，再根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，就可以推出直角三角形的斜邊長為2，再根據勾股定理算出另一條直角邊長為3，再根據三角函數的定義公式就足矣。

例2如果∠α是等腰直角三角形的一個銳角，則 的值是（）

A.12B.22C.1D.2

解析：此題主要考察等腰三角形的性質和特殊教的三角函數值的記憶，具有一定的綜合性，因為等腰直角三角形的銳角是45度，所以tanα=tan45°=1，故選C。

評注：對于45度角的正切值沒記住的學生可以采用玩三角板法，也可以采用口訣法和規律法，但這個題是綜合題，就有它獨特的解法，我們可以借助等腰三角形的性質及勾股定理的有關知識就能解決問題。

例3已知 ，且∠A為銳角，則∠A=（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

解析：此題主要考察學生的逆向思維30度角的正弦值是12，故選A.

評注：在銳角范圍內，每一種三角函數值與角度是一一對應關系，所以二者可以互推。

例4計算tan60°+2sin45°-2cos30°的結果是（）

A.2B.3C.2D.1

分析：這個題主要考察學生對特殊教的三角函數值的記憶及有關實數的運算，三角函數值的記憶完全可借用上述三種方法。

解：tan60°+2sin45°-2cos30°=3+2×22-2×32= 2.故選C.

評注：特殊角的三角函數值的記憶在運用上述三種方法時要靈活應用，實數計算時要注意計算順序。

特殊角的三角函數值是解直角三角形中常用到的重要數據，只要能記住這些特殊數值，可以在解決實際問題中起到事半功倍的效果，但記憶的方法很多，在解決實際問題中強化記憶，熟練以上提到的記憶方法，不但可以記住特殊角的三角函數值，也能提高學生解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]劉瑞華.數學教師從哪兒入手指導學生“會學”[J].云南教育：中學教師，2010（6）：32-33.

【作者簡介：朵興智（1970-）男，藏族，甘肅肅南人，一級教師，研究方向：中小學教育與藏語教學。】

（作者單位：肅南裕固族自治縣祁豐學校）