齊次化思想在解題中的應(yīng)用探索

藍(lán)云波 張剛

摘 要：齊次化是數(shù)學(xué)解題的重要方法，通過在教學(xué)中對齊次化方法的深入探究，引導(dǎo)學(xué)生挖掘出齊次化的本質(zhì)其實(shí)就是化兩元為一元，減少代數(shù)字母數(shù)量，從而使齊次化方法上升為一類解題思路。這種轉(zhuǎn)化思路在解決三角函數(shù)問題、求取值范圍問題、解析幾何問題、證明不等式、證明數(shù)列不等式、函數(shù)綜合問題等方面都可以得到廣泛的應(yīng)用。教師應(yīng)當(dāng)通過設(shè)置不同角度的問題引領(lǐng)學(xué)生自主探究，促進(jìn)學(xué)生理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向，將數(shù)學(xué)運(yùn)算這個學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展落到實(shí)處。

關(guān)鍵詞：齊次化；優(yōu)化解題；解題思想；學(xué)科素養(yǎng)

中圖分類號：G633.62 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）02-0009-05

齊次式各項(xiàng)的次數(shù)相同，因而具有對稱美和結(jié)構(gòu)美的特征，這使得運(yùn)算的處理往往會更容易、更簡潔、更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。同時，對于一些涉及非齊次式的數(shù)學(xué)問題，如果學(xué)生能夠結(jié)合題設(shè)條件，將其轉(zhuǎn)化為齊次式問題來處理，則往往能化繁為簡，優(yōu)化解題過程，起到事半功倍的效果。齊次化方法的本質(zhì)是消參思想，齊次化運(yùn)算步驟是各類考試中普遍熱點(diǎn)，是對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算這個學(xué)科素養(yǎng)的具體考察——要求學(xué)生“理解運(yùn)算對象”，合理構(gòu)造滿足題干條件的算式；“掌握運(yùn)算法則”，能夠正確運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理；“探究運(yùn)算方向”——消除待求算式中與題干無關(guān)的參數(shù)。筆者以近年來的各類試題為例，包括三角函數(shù)、代數(shù)式取值范圍、解析幾何、證明代數(shù)不等式、證明數(shù)列不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等方面的齊次化解法，供廣大一線數(shù)學(xué)教師作為授課參考。

一、三角函數(shù)問題

考點(diǎn)是源于教材，如人教A版必修④第一章《三角函數(shù)》中的一道習(xí)題：已tanα=2知，求的值.解題思路是將該分式轉(zhuǎn)化為只關(guān)于tanα的式子。以下這道高考試題就可以看作本例題的一個變式。

【例1】（2015年高考廣東卷）已知tanα=2.

（1）求tanα+的值；

（2）求的值.

【解析】（1）tanα+=-3（略）；

（2）

=

=

=

===1

【點(diǎn)評】本題的第二問表面上不是齊次式，但在通過化簡和變形后，可化為一個關(guān)于cosα的二次齊次式。所用到的思想方法和課本上的習(xí)題如出一轍。這體現(xiàn)出高考源于課本而高于課本的命題原則。齊次化的目標(biāo)是化多變量為單變量，如例1本來同時含有sinα，cosα，但在通過分子和分母同除以cosα之后，便轉(zhuǎn)化成只含有tanα的式子。

二、求取值范圍

關(guān)于求解在某個條件下代數(shù)式的取值范圍或最值的問題，此時教師需要引導(dǎo)學(xué)生把所求的代數(shù)式設(shè)為一個參變量，通過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算代入已知條件中，并設(shè)法實(shí)現(xiàn)齊次化。

【例2】（2016年河北省高中數(shù)學(xué)競賽）實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=3，則x2+y2的取值范圍是 .

【解析】設(shè)S=x2+y2，則=1，

故x2+y2+xy=3·，

整理得（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0.

①當(dāng)x=0時，由x2+y2+xy=3，得y2=3

此時S=x2+y2=3.

②當(dāng)x≠0時，且S≠3時，

方程（S-3）y2+Sxy+（S-3）x2=0，

可化為（S-3）2+S·+（S-3）=0.視此式為關(guān)于的一元二次方程，

則有△=S2-4（S-3）2≥0，即S2-8S+12≤0，結(jié)合S≠3，可解得2≤S≤6且S≠3.

由①②知2≤S≤6，故x2+y2的取值范圍是[2，6].

【點(diǎn)評】取值范圍問題的常見解法是利用基本不等式進(jìn)行求解，技巧性較強(qiáng)。本題的關(guān)鍵是通過把=1代入已知條件并實(shí)現(xiàn)齊次化，然后利用整體思想將原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程有解問題，使問題的思路清晰，直接套用公式求取答案。

三、解析幾何問題

眾所周知，在各類考試中，解析幾何解答題通常以運(yùn)算量大著稱，解題的最核心的方法是設(shè)而不求，在涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題中，常見的做法是曲線方程組進(jìn)行消元。然而筆者發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造齊次式是解答解析幾何題的一大利器，具有一定的通性通法，視角獨(dú)特，令人耳目一新！由橢圓與雙曲線的離心率公式e=可知，若能在解題中，設(shè)法構(gòu)建出關(guān)于a，c的n次齊次式，然后再同除以an，離心率問題便能快速實(shí)現(xiàn)問題的解決。

【例3】（2016年甘肅高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）雙曲線-=1（a>1，b>0）的焦距為2c，直線l過點(diǎn)（a，0）和（0，b），且點(diǎn)（1，0）到直線l的距離與點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離之和s≥c，則雙曲線離心率e的取值范圍是 .

【解析】 依題意可設(shè)直線l的方程為

+=1，即bx+ay-ab=0.

所以點(diǎn)（1，0）到直線l的距離

d1=，又因?yàn)閍>1，

所以d1=.

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離.

所以s=d1+d2=+

==.

由s≥c得≥c，即5ab≥2c2，

所以5a≥2c2，

所以25a2（c2-a2）≥4c4，

即4c4-25a2c2+25a4≤0，

所以4·4-25·2+25≤0，

即4e4-25e2+25≤0，解得≤e≤5，

又e>1，所以≤e≤。即雙曲線離心率的取值范圍是[，].

【點(diǎn)評】本題是經(jīng)典的可通過構(gòu)造齊次式解決的離心率問題，通過消去b，并構(gòu)建不等式，得到一個關(guān)于a，c的四次齊次式，然后同除以a4，轉(zhuǎn)化為單變量問題，問題便迎刃而解.

【例4】（2015年廣東省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）設(shè)拋物線y2=2px（p>0）上有兩個動點(diǎn)A（x1，y1）（y1>0），B（x2，y2）（y2<0）.

（1）設(shè)直線AB的連線與x軸交于C，拋物線在A、B的切線的焦點(diǎn)坐標(biāo)D（x3，y3），證明：OD+x3=0，其中為O坐標(biāo)原點(diǎn)；

（2）若OA⊥OB，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】（1）略；

（2）設(shè)AB中點(diǎn)為M（x0，y0），直線AB方程為mx+ny=1，聯(lián)立y2=2pxmx+ny=1.

齊次化可得y2=2px（mx+ny），

即2-2mp-2mp=0。

由韋達(dá)定理可得·=-2mp，又·=-1，

所以-2mp=-1，即m=.

所以直線AB恒過定點(diǎn)（2p，0）.

以下對直線AB的斜率分兩種情形討論：

①若直線AB的斜率存在，

則kAB===；

又因?yàn)閗BM=，且kAB=kBM，

所以=，即y=p（x0-2p）；

②若直線AB斜率不存在，此時M的坐標(biāo)為（2p，0），它顯然滿足y=p（x0-2p）；綜上所述，AB中點(diǎn)軌跡方程為y2=p（x-2p）.

【點(diǎn)評】本題通過使用齊次化思想，可以大幅減低運(yùn)算量，提高解題效率。

四、證明不等式

不等式的證明是高中數(shù)學(xué)競賽的重要考點(diǎn)，具有舉足輕重的地位。由于其方法繁多，技巧性極強(qiáng)，因此通常難度較大。在不等式的證明方法中，齊次化是一種較為重要的方法，通過齊次化處理，使得不等式更對稱、更完美，使得問題的難度降低，從而有利于求解。

【例5】（2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試）設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，abc>0。

求證：ab+bc+ca<+.

【證明】不妨設(shè)a≥b≥c.

（1）若c>0，因?yàn)閍+b+c=1，故（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，原不等式等價于ab+bc+ca<+，即等價于的齊次式：2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）<

2.

若2（ab+bc+ca）≤（a2+b2+c2），原不等式顯然成立；

若2（ab+bc+ca）>（a2+b2+c2），兩邊平方后等價于∑a4+6∑a2b2<4∑（a3b+ab3）.

注意到

2（ab+bc+ca）-（a2+b2+c2）·

（a2+b2+c2）-（ab+bc+ca）=

3∑（a3b+ab3）-4∑a2b2-abc（a+b+c）-∑a4≥0

故有4∑（a3b+ab3）>∑（a3b+ab3）+∑a4+4∑a2b2≥∑a4+6∑a2b2，故原不等式成立.

（2）若c<0，則b<0，a>0，

ab+bc+ca≤a（b+c）+

=（b+c）<0<+.

綜上，原不等式得證.

【點(diǎn)評】本題的難點(diǎn)在于c>0時的證明，本文給出的解法的關(guān)鍵是通過a+b+c=1這個條件，并通過平方之后，從而使得所要證明的不等式化為一個四次齊次式從而使問題的方向更明確，并最終實(shí)現(xiàn)問題的圓滿解決.

五、證明數(shù)列不等式

前面所舉的例題都是都過化為完全齊次式使問題得到巧妙的解決的。事實(shí)上，對于某些不能完全化為齊次式的問題，也可以利用相關(guān)的思想方法使問題得到完美的解決。這類問題，由于式子中只是部分齊次的，故可以稱之為部分齊次問題。這樣，可以使齊次化方法得到更為廣泛的應(yīng)用，在指導(dǎo)學(xué)生備考階段有助于其拓展視野。以下是一道具有獨(dú)特處理方法的經(jīng)典考題。

【例6】（2011年高考廣東卷理科）設(shè)b>0，

數(shù)列an滿足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

（2）證明：對于一切正整數(shù)n，an≤+1.

【解析】（1）an=2，b≠2b≠2略；

（2）若b=2，顯然成立；

若b≠2，要證an≤+1，

即證≤+1，

即≤n+1+1.

令x=，不等式轉(zhuǎn)化為≤xn+1+1，

若x>1，不等式可化為

f（x）=x2n+1-（2n+1）xn+1+（2n+1）xn-1≥0（*）

注意到f（1）=0，

而f′（x）=（2n+1）x2n-（2n+1）（n+1）xn+n（2n+1）xn-1

=xn-1（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1）

令g（x）

=（2n+1）xn+1-（2n+1）（n+1）x+n（2n+1），

且g（1）=0，

g′（x）=（2n+1）（n+1）xn-（2n+1）（n+1）>0，

故g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以g（x）>g（1）=0，

故f′（x）>0，故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以f（x）>f（1）=0，所以（*）得證；

若0

綜上，對于一切正整數(shù)n，an≤+1.

【點(diǎn)評】本題官方給出的答案是利用試卷中給出的一個參考公式進(jìn)行解答的，事實(shí)上，不用這個參考公式同樣可以使問題得到解決。本題中，雖然不能化為完全的齊次式，但是通過觀察發(fā)現(xiàn)，在≤+1中，，雖然不是齊次式，但是卻是齊次式，故可順手推舟，轉(zhuǎn)化為用n表示，從而實(shí)現(xiàn)問題維度的降低，最后再通過導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為一個簡單的不等式的證明.

六、函數(shù)綜合問題

近幾年，隨著高考命題工作的不斷探索，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題興起了雙變量問題。對于這類問題，雖然也不能化為完全齊次式，但是卻同樣可化為部分齊次問題。

【例7】（2016年湖南省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）已知函數(shù)f（x）=xlnx-mx2-x，m∈R.

（1）當(dāng)m=-2時，求函數(shù)f（x）的所有零點(diǎn)；

（2）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，且x1e2.

【解析】（1）略；

（2）若f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，

則導(dǎo)函數(shù)f′（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2.

由f′（x）=1nx-mx，

可知1nx1-mx1=01nx2-mx2=0要證x1x2>e2，

即證明1nx1+1nx2>2.

由1nx1-mx1=01nx2-mx2=0得m=，

m=.

所以=，

即1nx1+1nx2=.

故只需證>2，

因?yàn)閤1

即證1n-<0，設(shè)t=，則0

故只需證1nt-<0（0

設(shè)g（t）=1nt-（0

故只需證g（t）<0.

因?yàn)間′（t）=-=>0。

所以g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以g（t）e2得證.

【點(diǎn)評】本題以重要不等式——對數(shù)平均不等式為背景，考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵在于對通過等價轉(zhuǎn)化后，雙變量的處理，解答過程使用了消元思想，解題的關(guān)鍵把>2化為1nx1-1nx2<，右邊局部是一個一次齊次式，在通過化為用表示的不等式后，要構(gòu)造的函數(shù)便呼之欲出.需要注意的是，在近幾年的各類考試中，以對數(shù)平均不等式為背景的試題屢見不鮮，且常考常新，應(yīng)引起足夠的重視。

通過以上的案例可以說明，齊次化是源于課本的一種非常重要的數(shù)學(xué)方法。齊次化的本質(zhì)就是通過代數(shù)變形，減少字母量，以此降低解題的維度。將齊次化僅僅作為一種解題策略實(shí)施教學(xué)是不夠的，應(yīng)當(dāng)使其升華成發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的手段，并指導(dǎo)學(xué)生更為高效地解決數(shù)學(xué)問題。

教師在平時的備課中，要重視對課本的理解和挖掘，并從中找出體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，并引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用。對重要的數(shù)學(xué)思想，教師還應(yīng)使其從不同角度呈現(xiàn)出來，提高知識系統(tǒng)與數(shù)學(xué)思想的整合性，以達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

參考文獻(xiàn)：

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[3]藍(lán)云波.活躍在各類考試中的對數(shù)平均不等式[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2016，（2）：26～29.