反比例函數(shù)的圖象是雙曲線的證明

李俊平 趙生初

摘 要：教師在課堂上有目的地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，首先需要結(jié)合教材內(nèi)容為學(xué)生準(zhǔn)備一些具備探索價(jià)值、學(xué)生愿意思考且經(jīng)過一定努力可以獲得實(shí)效的問題。教師處于課堂教學(xué)的主導(dǎo)地位主要就表現(xiàn)在善于根據(jù)學(xué)情靈活追問，引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用已有認(rèn)知解決新問題，從而獲得新知識。這個過程中學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展就能得到自然落實(shí)。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)變換；反比例函數(shù)；雙曲線

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）02-0041-03

教師在課堂上有目的地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，首先需要結(jié)合教材內(nèi)容為學(xué)生準(zhǔn)備一些具備探索價(jià)值、學(xué)生愿意思考且經(jīng)過一定努力可以獲得實(shí)效的問題。教師處于課堂教學(xué)的主導(dǎo)地位主要就表現(xiàn)在善于根據(jù)學(xué)情靈活追問，引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用已有認(rèn)知解決新問題，從而獲得新知識。這個過程中學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展就能得到自然落實(shí)。

一、提出問題

初中要求學(xué)生記住反比例函數(shù)y=（其中k≠0）的圖象就是“雙曲線”，但它的表示與高中所學(xué)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程-=1或-=1在形式上有很大差別.為什么形狀相似的圖形之間，解析式卻相差如此之大呢？這是一個能夠引起學(xué)生認(rèn)知沖突，引發(fā)其深入思考的解析幾何問題，且就高中生的知識儲備程度和能力培養(yǎng)水平來說這個問題他們完全可以自主解決。因此，“反比例函數(shù)圖像性質(zhì)的驗(yàn)證”是一個值得教師在課堂上投入時間，引導(dǎo)學(xué)生展開探究拓展活動的好題材。

二、分析問題

（一）直觀猜想

圖1-a、圖1-b分別是k=1和k=-1時反比例函數(shù)y=的圖像，如果反比例函數(shù)的圖象是雙曲線的話，從圖1-a和1-b來看，它們只可能是漸近線互相垂直的“等軸雙曲線”；圖2-a、圖2-b是當(dāng)a=b=時等軸雙曲線-=1和-=1的圖象.從上述四個圖象直觀推測，圖1-a和圖2-a及圖1-b和l圖2-b的圖象可經(jīng)由圍繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)45°來實(shí)現(xiàn)二者之間的相互重合。如果此猜想正確，可知過去為學(xué)生所“熟悉”的反比例函數(shù)y=圖象是雙曲線，且它的很多數(shù)學(xué)性質(zhì)都可以用新學(xué)的解析幾何知識來重新解讀。

（二）探究與論證

1.尋求理論支持

依據(jù)初中數(shù)學(xué)中有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的知識，可知一個圖形從一個位置繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后所得到的新圖形與原圖形在形狀、大小上均保持不變。即經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換，雙曲線依然是雙曲線；不僅保持雙曲線的形狀不變，而且還使得旋轉(zhuǎn)前后雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦距等幾何量也保持不變。

2.觀察客觀規(guī)律

猜想的證明是問題分析階段的核心，即保證每一個個案都能在猜想中得到驗(yàn)證。為此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先討論平面直角坐標(biāo)系xOy下任意一點(diǎn)P（x，y）繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)θ到P′（x′，y′）后（如圖3），兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間的變化規(guī)律。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)有|OP′|=|OP|，另一方面若設(shè)OP與x軸之間的夾角為φ，不僅有x=|OP|cosφ、y=|OP|sinφ，而且還有x′=|OP′|cos（θ+φ）=|OP′|（cosθcosφ-sinθsinφ）=xcosθ-ysinθ、y′=|OP′|sin（θ+φ）= |OP′|（sinθcosφ+cosθsinφ）=xsinθ+ycosθ.即，P（x，y）繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)θ到P′（x′，y′）后前面兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之間的變化規(guī)律是x′=xcosθ-ysinθy′=xsinθ+ycosθ.

（三）論證具體問題

借助上述坐標(biāo)變換公式來討論圖1-a的圖象如何旋轉(zhuǎn)變?yōu)閳D2-a中的圖象。從反比例圖形的“漸近線”直觀看，圖1-a的圖象繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)45°或-rad后也可以和圖2-a中的圖象重合；圖2-a中的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°或rad后也可以和圖2-a中的圖象重合。

當(dāng)θ=-45°或-rad 時，

有x′=xcos（-）-ysin（-）y′=xsin（-）-ycos（-），

即x′=（x+y）y′=（-x+y）；

進(jìn)而在此基礎(chǔ)上可得x=（x′-y′）y=（x′+y′）.

若點(diǎn)P（x，y）是y=的圖象上的點(diǎn)，則xy=1，即[（x′-y′）]·[（x′+y′）]=1，

展開可得-=1.

這就可以印證y=的圖象的任意點(diǎn)P（x，y）繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45°或-rad后的對應(yīng)點(diǎn)P′（x′，y′）正好在雙曲線-=1的圖象上，故y=的圖象繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45°或-rad后都在雙曲線-=1的圖象上.反之，雙曲線-=1繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)45°或rad后所得到的圖象也都落在函數(shù)y=的圖象上.而順時針、逆時針旋轉(zhuǎn)45°互為相反映射，所以兩個圖形的點(diǎn)是一一對應(yīng)的。綜上所述， y=的圖象就是由雙曲線-=1旋轉(zhuǎn)得到的.

一般地，當(dāng)k>0時，反比例函數(shù)y=的圖象繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45°或-rad后所對應(yīng)的是雙曲線-=1的圖象；當(dāng)k<0時，反比例函數(shù)y=圖象繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45°或-rad后所對應(yīng)的是雙曲線-=1的圖象.

三、解決問題

經(jīng)過孩子們的努力，問題獲得了圓滿解決。深度探究不僅能調(diào)動學(xué)生求知的欲望，而且也能調(diào)動學(xué)生通過自身努力去尋找問題解決的策略或方法的積極性；深度探究不僅能進(jìn)一步豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，而且也能較好地促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)新意識或創(chuàng)新能力的發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，值得倡導(dǎo)，值得實(shí)踐。這也說明深度探究不僅可能，而且可行。