分析高中數學立體幾何的解題技巧

王安寧

（山西省沁水中學校，山西 沁水）

一、高中數學立體幾何的解題技巧

（一）平行、垂直位置關系的論證的策略

1.從已知概念的性質出發，有問題去想判定的方法，即分析方法和綜合方法，找到解題的方法。

2.解決問題的常用方法之一是利用問題設置條件的性質適當地增加輔助線（或表面）。

3.高考中最常用的三垂線定理及其逆定理，在證明直線垂直時應優先考慮。

（二）空間角的計算方法與技巧

1.由兩條不同直線形成的角度：①水平法；②補體法；③向量法。

2.由直線和平面形成的角度。直線和平面之間的角度的關鍵是作垂直線，在同一三角形中找到投影計算，或者使用向量計算以及用公式計算。

3.二面角：（1）平面角的作法：①定義方法；②三垂線定理及其逆定理；③垂直法。（2）平面角計算方法：①求平面角，然后計算（求解三角形）或使用向量計算；②投影面積法；③向量角公式。

（三）空間距離的計算方法與技巧

1.求點到直線的距離：三垂線定理通常用于從一點到一條直線形成一條垂直線，然后求解相關三角形，同時也可以用面積相等求出點到直線的距離。

2.求兩條異面直線間距離：一般先找到公垂線，然后求公垂線的長度。如果不能直接作出公垂線的情況（在這種情況下，不需要納入大學入學考試），則可以將其轉換成線面距離求解。

3.求點到平面的距離：一般找出（或作出）一個垂直于已知平面的平面，利用面面的垂直性質使平面垂直，然后計算；也可以使用“三棱錐體積法”直接求距離。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉化為點到平面的距離來求解，從而解決了這個問題。

（四）立體幾何讀題

1.找出圖形幾何是什么，規則的、不規則的、組合的等。

2.理解幾何學的結構特征。表面、線條和線條之間的關系（平行、垂直和相等）是什么？

3.重點留意有哪些面面垂直、線面垂直，線線平行、線面平行等。

（五）解題程序劃分為四個過程

1.看看發生了什么事。所謂的“求證題”的已知是什么？條件是什么？什么是未知的？結論是什么？這就是我們經常談論的話題。

2.制訂一個計劃。找出與未知的直接或間接聯系。在闡明問題的意義的基礎上，我們可以捕捉有用的信息，提取相關信息并及時記憶其中的有關信息，然后對兩組信息資源進行邏輯組合，以構思一個成功的計劃，這就是我們所說的思考。

3.計劃的實現。為了表達解決簡單、準確、有序的數學語言和數學符號問題的思想，驗證了該解的合理性，這就是我們想討論的問題。

4.復習。對結論進行了驗證，總結了解決問題的方法。

二、高中數學立體幾何的例題解題技巧分析

例.如圖1，設ABC-A1B1C1是直三棱柱，F是A1B1的中點，且AB=2AA1=2a，AC=BC=

圖1

圖2

（1）求證：AF⊥A1C；

（2）求二面角C-AF-B的大小。

分析：先來看第（1）問，我們“倒過來”分析。如果已經證得AF⊥A1C，則注意到因為AB=2AA1=2a，ABC-A1B1C1是直三棱柱，若設E是AB的中點，就有A1E⊥AF，即AF⊥平面A1CE。那么，如果我們能夠先證明AF⊥平面A1CE，就可以證得AF⊥A1C，而這可由CE⊥平面AA1B1B立得。

再來看第（2）問。為計算二面角C-AF-B的大小，我們需要找到二面角C-AF-B的平面角。由前面的分析知，CE⊥平面AA1B1B，而A1E⊥AF，所以，若設G是AF與A1E的中點，則∠CGE即為二面角C-AF-B的平面角，再計算△CGE各邊的長度，即可求出所求二面角的大小。

解：（1）如圖 2，設 E 是 AB 的中點，連接 CE，EA1。由 ABCA1B1C1是直三棱柱，知AA1⊥平面ABC，而CE在平面ABC上，所以 CE⊥AA1。

∵AB=2AA1=2a，∴AA1=a，AA1⊥AE，知 AA1FE 是正方形，從而AF⊥A1E。而A1E是A1C在平面AA1FE上的射影，故AF⊥A1E。

（2）設G是AF與A1E的中點，連接CG。因為CG⊥平面AA1B1B，AF⊥A1E，由三垂線定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角 C-AF-B 的平面角.∵AA1FE 是正方形