數學原理、工具對現代通信技術的促進作用

趙鴻

【摘 要】數學和通信是息息相關的，其中傅立葉把信號的產生，變換，變化等等都具體地用數學方式表示出來，把抽象的信號形象化，更直觀地展現在我們眼前。數學原理和工具對現代通信技術發展的促進應用。

【關鍵詞】數學原理；數學工具；現代通信；促進

數學，起源于人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變量概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。

數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，并使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，并且直至今日都還不斷地發現中。其中數學在通信技術的領域中應用廣泛。現在是信息時代，無處不存在信息，無處不存在通信，我們人與人之間，地區與地區之間，國家與國家之間的聯系也因通信技術的發展而更加密切。

一、數學原理、工具在通信技術中的應用體現

數學在通信系統以及信息處理等學科中具有極端重要的地位。 可以這么說：所有的信號變換以及信息的處理都是這樣一種機制：通過數學變換，將一種信號變換成另一種信號。而變換之后的信號更適合于在通信系統中傳輸。

（一）在數學上，信號可以表示為一個或者多個變量的函數。

例如，一個語音信號就可以表示為聲壓隨時間變化的函數；一張黑白照就可以用亮度隨著二維空間變量變化的函數表示，本文的討論范圍僅限于單一變量的函數，而且為了方便起見，本文討論一般都用時間表示自變量，盡管在某些應用中自變量不一定是時間。

（二）連續時間信號和離散時間信號

全文將考慮兩種基本類型的信號：連續時間信號和離散時間信號。在前一種情況下，自變量是連續可變的，因此信號在自變量的連續值上有定義；而后者是僅僅在離散時刻點上，也就是自變量僅取在一組離散值上。為了區分這兩類信號，我們用t表示連續時間變量，而用n表示離散時間變量。另外，連續時間信號用圓括號（.）把自變量括在里面，而離散時間信號則用方括號[.]來表示。

在信號與系統分析中最主要的兩個性質：線性和時不變性。其理由是：第一，很多物理過程都具有這兩個性質，因此都能用線性時不變（LTI）系統來表征的；第二，可以對LTI系統進行詳細的分析。這樣既求得了對系統性質的深入了解，又提供了形成信號與系統分析核心的一套強有力的方法。在離散時間情況下，把離散時間信號表示成一組移位的單位脈沖的加權和，并據此導出了對離散時間LTI系統響應的卷積和表示。在連續時間情況下，相類似地把連續信號表示移位單位沖激函數的加權積分，并據此導出對連續時間LTI系統響應的卷積積分表示。這些表示方法是極為重要的，因為這樣就可以利用系統的單位沖激響應來計算系統對任何輸入信號的響應。

（三）連續時間和離散時間傅立葉級數和傅立葉變換

前面通過建立卷積和來標識、分析LTI系統是基于將信號表示成一組移位單位沖激的線性組合。下面我們將討論信號與LTI系統的另一種表示，和前面討論的出發點是一樣的，仍是將信號表示成一組基本信號的線性組合，不過這時所用的基本信號是復指數，所得到的是連續時間和離散時間傅立葉級數和傅立葉變換。

傅立葉分析方法的建立有過一段漫長的歷史，涉及到很多人的工作和許多不同物理現象的研究。傅立葉堅持的是任何周期信號都能用傅立葉級數表示！雖然這一點不完全正確，但傅立葉級數卻能用于表示相當廣泛的一類周期信號，其中包括周期方波和其它一些很重要的周期信號。

那究竟一個周期信號x（t）什么時候才確實具有一個傅立葉級數表示？從傅立葉分析的教科書中找到是它在一個周期內能量有限的信號，還能保證收斂，這在實際中很有用。由于要研究的大多數周期信號在一個周期內的能量是有限的，因此它們都有傅立葉級數的表示。然后，狄里赫利得到了另一組條件，這組條件對于我們關注的信號也基本上得到滿足。狄里赫利條件：

條件1：在任何周期內，x（t）必須可積；條件2：在任意有限區間內，x（t）具有有限個起伏變化；也就是說，在任何單個周期內，x（t）的最大值和最小值的數目有限。條件3：在x（t）的任何有限區間內，只有有限個不連續點，而且這些不連續的點上，函數是有限值。

一個不滿足狄里赫利條件的信號，一般來說在自然界中都是屬于比較反常的的信號，結果在實際場合不會出現。對于一個不存在任何間斷點的周期信號而言，傅立葉級數收斂，并且在每一點上該級數都是都等于原來的信號x（t）。對于在一個周期內存在有限數目不連續的點的周期信號而言，除開那些孤立的不連續的點外，其余所有點上傅立葉級數都等于原來的x（t）；而在那些孤立的不連續的點上，傅立葉級數收斂于不連續點處的值的平均值。在這種情況下，原來信號和它的傅立葉級數表示之間沒有任何能量上的差別。因此，兩者從所有實際目的來看可以認為是一樣的；具體一點就是，因為兩者只在一些孤立的點上有差異，所以在任意區間內的積分是一樣的。為此，在卷積的意義下，兩者的特性是一樣的，因而從LTI系統分析的觀點來看，兩個信號完全一致。

二、結束語

本文主要討論了連續時間和離散時間的傅立葉分析方法，怎樣的信號能用傅立葉表示，信號與系統中的兩個重要性質。信號與系統這一學科的內容極為豐富，因此想要研究得更多不是一朝一夕能達到的，通信世界是一個讓人著迷，讓人瘋狂的世界。所以在以后的學習中，我會繼續探究下去，也許這對我來說有很大的困難，可是那奇幻的變換給我帶來了無窮的樂趣。面對著新問題，新的技術和新的機遇挑戰，信號與系統分析一直在不斷演變和發展著。我們完全可以期望，隨著技術的進步，使日益增長著的復雜系統和信號處理技術的實現成為可能，而且一定會加速這一進程。將來，我們一定會看到信號與系統分析方法和概念應用到更廣泛的領域中去。