向量在立體幾何解題中的妙用

李小春

一、利用向量解決線面平行問題

空間立體幾何中的平行問題包括兩條直線平行、直線與平面平行、兩個平面平行。遇到運用向量的方法證明線與面的平行的問題，學生可以把問題變成直線的方向向量與平面的法向量之間的代數(shù)運算問題。

例1.在圖1中，兩個正方形ABCD與ADEF相互垂直，且公用AD邊，M、N兩點分別是正方形對角線AC和FD上的點，并且AM=FN。證明：MN∥平面DCE。

解析：建立如圖1的空間直角坐標系，假設=λ，∵AM=FN，∴=λ，∵=++=-λ++λ=-λ-λ++λ-λ=-λ+（1-λ），∴MN∥平面DCE。

點評：在遇到證明線面平行這類題目時，如果是證明線與線平行，學生需要判斷兩條線的方向向量共線；如果是證明線與面平行，學生需要出計算線的方向向量和平面的法向量的點積為0；如果是證明面與面平行，學生需要證明兩個平面的法向量共線。

二、利用向量解決線面垂直問題

例2.在如圖2所示的正方體中，E、F兩點分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中的BB1、CD兩條邊的中點。證明：平面AED⊥平面A1FD1

解析：要證明圖中的兩個平面垂直，可建立如圖2所示的空間直角坐標系，并假設正方體的邊長是2，這樣就可以求出如下點的空間坐標A（0，0，0）、D（0，2，0）、

A1（0，0，2）、D1（0，0，0）、E（2，0，1）、

F（1，2，0）。

=（0，2，0），=（1，0，-2），∵.=0，AD⊥D1F，=（2，0，1），||=，

||=，假設AE和D1F夾角是θ，cosθ===0，∴θ=90°，即AE⊥D1F。∵AD⊥D1F，AD∩AE=A，∴D1F⊥平面AED，∵D1F包含在平面A1FD1中，∴平面AED⊥平面A1FD1。

點評：當證明線與線垂直時，學生要計算兩條直線的方向向量的內積為0；當證明線與面垂直時，學生需要判斷線段的方向向量與平面的法向量平行；當證明面與面垂直時，學生需要判斷兩個平面的法向量是平行的。

三、利用向量解決二面角的問題

例3.在圖3中，直三棱柱ABC-A1B1C1中的AC=BC=AA1，DC1⊥BD，D是AA1棱的中點。（1）證明：BC⊥DC1（2）求二面角A1-BD-C1的大小。

解析：（1）∵D是AA1棱中點，DC1=DC，AC=AA1，DC12+DC2=CC12，∴DC1⊥DC，∵ BD⊥DC1，DC∩BD=D，∴DC1⊥DBC平面， BC包含在平面DBC中，∴BC⊥DC1。

（2）∵CD⊥DC1，BC⊥CC1，∴BC⊥平面ACC1，∴CB、CC1、CA三線兩兩互相垂直，∴可以C為原點，分別以CA、CB、CC1為x、y、z軸建立空間直角坐標系，假設AC=BC=1，則A1（1，0，2），C1（0，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），=（0，0，-1），=（1，-1，1），=（-1，0，1），設A1B1BD平面的法向量是=（x，y，y），.=0，.=0，∴，取=（1，1，0）。同理可假設C1BD平面的法向量是，可得.=0，.=0， 取=（1，2，1）。∴cos<.>==。

∴二面角A1-BD-C1的大小是30°。

點評：求立體幾何中二面角的大小有兩種方法：幾何方法與向量方法。但從所給條件看，運用向量方法求解比較容易。在求解空間角的問題時，學生要根據(jù)題目所給的已知條件來選擇簡單的解題方法。

（作者單位：江西省廣豐貞白中學）