發展學生數學核心素養的教學微設計

【摘 要】深度學習是學生源于自身動機的對有價值的學習內容展開的完整的、準確的、豐富的、深刻的學習，是一種有意義、理解性、階梯式的學習。發展學生數學核心素養的課堂必須基于深度學習。促進學生深度學習需要一種載體，課堂教學微設計是一種行之有效的方法，它讓核心素養發展在課堂上真正落地。

【關鍵詞】深度學習；數學核心素養；教學設計

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2018）83-0025-03

【作者簡介】陳柏良，浙江省紹興市第一中學（浙江紹興，312000）副校長，正高級教師，浙江省特級教師，浙江師范大學客座教授。

2018年1月16日，教育部召開新聞發布會，介紹修訂后的《普通高中課程方案和數學等學科課程標準（2017年版）》。其中，數學學科在這次修訂的課程標準中新增了對學科核心素養的界定與論述，明確了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析6大數學學科核心素養。那一線的數學教師如何在課堂中踐行新修訂的課程標準理念，讓發展學生數學核心素養的教學目標真正落地呢？筆者以為，在教學理念層面，一線教師應當以深度學習理論為指導；在具體操作層面，除了在常規教學中進行滲透外，還可以從現行的普通高中數學教材中選取部分內容進行教學微設計，以此來達到培育學生數學核心素養的目標。

一、相關概念

深度學習是學生源于自身內部動機的對有價值的學習內容展開的完整的、準確的、豐富的、深刻的學習。從本質上看，它是一種主動的、探究式的、理解性的學習方式，要求學習者掌握非結構化的深層知識并進行有批判性的高階思維、主動的知識建構、有效的遷移應用及真實問題的解決，進而實現元認知能力、問題解決能力、批判性思維、創造性思維等高階能力的發展。深度學習是有意義的學習，要求學生的學習不是單純的接受，而是在發現基礎上的同化；深度學習是理解性的學習，重在引導學生通過深切的體驗和深入的思考，達成對學科本質和知識意義的滲透理解；深度學習是階梯式的學習，是促進式的、層次性的學習，這與《普通高中數學課程標準（2017年版）》闡述的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析這6大核心素養的3個水平層次相呼應。發展學生學科核心素養必須基于深度學習。

課堂教學微設計，指的是教師選取課堂教學內容中的某一部分（如問題情境、概念教學、探究活動、例題練習、知識應用等等）而進行的設計，它是整個課堂教學設計的一部分，若干個微設計構成整個課堂教學的設計。教師通過課堂教學微設計，促進學生的深度學習，從而達到學生發展數學核心素養的目標。由此可見，課堂教學微設計是方法，深度學習是過程，發展核心素養是目標，三者邏輯相關，有機統一。

下面以一則“平面向量的幾何應用”案例加以論述。

二、案例分析

課堂教學微設計：

問題1：求證|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）。如何構造一個圖形解釋這個公式的幾何意義？（蘇教版《高中數學》必修4“2.4向量的數量積”中的習題2.4第5題）

分析：|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2與|a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2，兩式相加即得。

向量集數與形于一身，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性。在中學數學教學中常常把向量定位為研究幾何問題的一種“工具”。教學中可引導學生聯想向量加法與減法的幾何模型，獲得該等式的幾何意義：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。

該問題求解后，可給出以下2道練習題加以鞏固。

練習1：如果M是三角形ABC中BC邊的中點，求證：|AB|2+|AC|2=2|AM|2+2|BM|2。（人教B版《高中數學》必修4“2.4向量的應用”中的習題2.4B組第4題）

練習2：在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，求 的值。

問題2：在|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求證過程中，你還有什么新的發現？

深度學習的數學課堂要呈現“關聯”，教師在課堂上的工作就在于建立新的聯結點，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，并引導學生深入思考，從客觀世界吸收營養來豐富、延伸這個網絡。因而，在問題1的基礎上，設計開放性問題2，給學生思維的自由度和廣闊度，有利于發展學生邏輯推理的核心素養。

事實上，在等式|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）的求證過程中，學生對|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2與|a-b|2=（a-b）2=a2-2ab+b2兩式作差，即可發現：4ab=（a+b）2-（a-b）2，也即a·b= [（a+b）2-（a-b）2]（極化恒等式）。

此式表明向量的數量積運算可以由向量的線性運算的模推導出，該式溝通了向量數量積運算和線性運算之間的關系。若a，b是實數，則該恒等式也可謂“廣義的平方差公式”。極化恒等式的幾何意義：向量數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的 ，如圖1，若記 =a， =b，即有a·b= （|AD|2-|BC|2）。在三角形中，也可以用三角形的中線來表示，即a·b=|AM|2- |BC|2。它揭示了三角形的中線與邊長的關系。

深度學習是內源性的學習，強調通過深切的體驗和深入的思考，達成對學科本質和知識意義的滲透理解，在問題2的基礎上，可轉換角度，繼續引導學生主動探究。

問題3：如圖2，已知點M在三角形ABC的邊BC上， =λ +μ ，求λ+μ的值；若D為線段AM（或延長線）上的一點， =x +y ，則x+y為定值嗎？如何解釋這個值的幾何意義？

探究：根據M，B，C三點共線，易知λ+μ=1，這一結論顯現了平面幾何中的“三點共線”可以用向量線性表示。若D為線段AM（或延長線）上的一點，則必存在一個常數m∈R，使得 =m ，則 =m =m（λ +μ ）。又 =x +y ，所以x+y=mλ+mμ=m。當點M，D確定后，x+y的值便也確定，即m= 。

如圖3，若過點D作直線EF∥BC，交AC和AB延長線分別于點E和F，則由三角形ACB與三角形AEF相似，m= = = 。

（圖3）

綜上所述，可得以下結論（俗稱“等和線定理”）：

已知 、 為平面內兩個不共線的向量，若直線l∥BC，點D為直線l上任一點，且 =x +y ，則x+y=m為定值，我們把直線BC以及與直線BC平行的直線l稱為等和線。特別地，如圖3所示，A∈l時，m= = = 。

易知，當點D與點A位于直線BC異側時，有x+y>1，且點D到直線BC的距離越大，則x+y越大；當點D與點A位于直線BC同側時，有x+y<1，且點D到直線BC的距離越大，則x+y越小。

本設計從問題1入手，得到平行四邊形兩條對角線與邊長的長度關系式后，緊接著引導學生深度學習，得到“極化恒等式”和“等和線定理”，促進學生發展邏輯推理核心素養。

數學的思維是什么？就是邏輯推理。通俗地講，就是由已經總結出來的規律推出新的規律。這是數學生長和發展的主要途徑。有人曾打過比方，說數學抽象相當于“女媧造人”，從無到有產生數學；邏輯推理相當于“人生人”，從少到多發展數學。事實上，數學的發展依賴的是邏輯推理，就是從一些前提或者事實出發，依據一定的規則得到或者驗證命題的思維過程，這里所說的規則是指推理過程具有傳遞性。[1]

推理過程具有傳遞性，推理更多的需要依賴深度學習。如上，可進一步改變視角，提出問題，發展學生邏輯推理核心素養，實現“人生人”：

問題4：如圖4，試用四邊形ABCD的四條邊長表示對角線向量 · 的數量積。

（圖4）

引導學生探究：

在△ABC中，由余弦定理的向量式得 · = ；在△ADC中，同理可得 · = ，因此在四邊形ABCD中， · = ·（ - ）= 。

即 · = （對角線向量定理）。

上式表明：四邊形的兩條對角線對應向量的數量積可用4條邊的長度表示。該定理的兩個推論是顯而易見的。

推論1：當 ⊥ 時， 2+ 2= 2+ 2。

此式表明：當對角線互相垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等。

推論2：cos< ， >= 。

此式可以求平面或空間的角度問題，包括線線角、線面角和二面角。需要說明的是，對角線向量定理和推論既適用于平面向量也適用于空間向量（圖5）。

（圖5）

如果說，數學抽象是從無到有產生數學；那么，邏輯推理就是從少到多發展數學，產生和發展的過程其實也是數學建模。如上微設計，“問題3”中得到的“等和線定理”和“問題4”中得到的“對角線向量定理”實際上體現了數學建模的思想。以上的微設計案例，問題1讓學生在尋找代數式的幾何意義中發展直觀想象核心素養；問題2至問題4在拓展引申中發展學生邏輯推理，經歷數學運算，建立數學模型，較好地促進學生數學核心素養的形成和發展。

綜上，我們看到以深度學習理論為指導，以發展數學核心素養為教學目標的課堂教學微設計正是基于問題的設計，在問題的驅動下，引導學生獨立思考，交流表達，發展數學核心素養。更重要的是，在課堂教學微設計中，通過對問題的階梯式、促進式、層次性設計，讓學生在發展數學核心素養的同時，提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創新意識；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。這才是數學學科教育落實“立德樹人”要求，體現學科育人的價值所在，數學教育工作者當以此為重任。

【參考文獻】

[1]史寧中.試論數學推理過程的邏輯性：兼論什么是有邏輯的推理[J].數學教育學報，2016（4）：1-16.