韋達定理應用策略

江蘇省揚州市竹西中學 宋 揚

一元二次方程根與系數的關系通常也稱韋達定理，其重要意義在于：不滿足于求根公式從已知探求未知所作出的貢獻，又開啟了解決問題的新途徑，使許多問題能夠方便、快捷地得以解決。特點是形式簡單，內涵豐富；易學好懂，方法靈活；應用廣泛，功效顯著。尤其是思想方法體現了創新精神，對培養青少年的核心素養可以起到非常積極的作用，因此，學習和運用根與系數的關系是不可或缺的。

一、根與系數的關系概要

1.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的兩個根，則有此結論稱為一元二次方程根與系數的關系。特別地，若x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的兩個根，則有x1+x2=-p（一次項系數的相反數）；x1x2=q（常數項）。這種特殊形式具有普遍意義，因為只要將一般形式下的一元二次方程兩邊同除以二次項系數 a，總能得到二次項系數為1的方程。

2.上述一元二次方程根與系數的關系，是一元n（n∈Z,n≥2）次方程根與系數的關系的一種特例。韋達（1540～1603）是16世紀法國最杰出的數學家，他最早系統地引入了代數符號，推進了方程論的發展，其中包括發現代數方程根與系數之間有這種關系。一元n次方程根與系數的關系（表達式）統稱韋達定理。

3.盡管一元二次方程的求根公式直接反映了根與系數的關系，但長期以來，人們習慣上只把兩根之和的表達式與兩根之積的表達式稱為根與系數的關系，簡稱為韋達定理，用以與求根公式相區別。

4.推導出韋達定理的基本方法：

（1）根據求根公式分別代入，經計算（整理）即可得到。

（2）在等式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)中，將右邊展開整理后，根據兩多項式相等（恒等）的充分必要條件是同次項系數對應相等而得。

5.根與系數的關系在復數域上普遍成立，應用范圍十分廣闊。

6.初中階段，一般只在實數域上討論。運用根與系數的關系時，往往默認了方程有實數根，其隱含條件是判別式Δ≥0，a≠0。

二、韋達定理應用的各種類型

1.直接使用兩根之和或兩根之積的表達式。

2.求有關根的代數式的值。

3.確定方程中參數（字母系數）的值或其取值范圍。

4.結合根的判別式（前提條件Δ≥0），討論根的符號特征。

5.求作新方程，使其滿足預設條件。

6.利用根的定義，建立相應方程，進而使用韋達定理。

7.逆向使用，構造方程，打開解題通道。

三、典型實例與詳細解析

例1 已知關于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個根為1，求它的另一個根。

解法一：設原方程的另一個根為α，則由韋達定理可得α+1=-1，即 α=-2。

解法二：由根的定義，將1代入原方程得m=-2，則由韋達定理可得α·1=-2，即α=-2。

其他解法：由根的定義先求得m=-2，然后代入原方程，并再解此方程，得到兩個根1，-2。其中，另一根-2即為所求。

【點評】上述解法一為本題最佳解法。

例2 已知α，β是方程x2-5x-2=0的兩個根，求α2-αβ+β2的值。

解：由韋達定理可知α+β=5；αβ=-2。

則 α2-αβ+β2=（α+β）2-3αβ=52-3×（-2）=31。

【設問】此題能否通過變形α2-αβ+β2=（α+β）2+αβ來求解？

例3 設x1，x2是方程x2-x-2017=0的兩個根，求x13+2018x2-2017的值。

解：由根的定義得x12-x1-2017=0，即x12=x1+2017。

由韋達定理可知x1+x2=1，于是有：

【思路點睛】利用根的定義，化高次為低次。

例4 已知關于x的方程x2-kx+2k-1=0的兩個實數根的平方和為23，求k的值。

解：設方程的兩實根為x1，x2，則依題意有x12+x2

2=23，即（x1+x2）2-2x1x2=23。由韋達定理可知x1+x2=k；x1x2=2k-1。整體代入上式得k2-2（2k-1）=23，即k2-4k-21=0。解此關于k的一元二次方程得k1=7，k2=-3。但當k=7時，原方程的判別式Δ=49-4×13＜0，這與已知條件“原方程有兩個實數根”相矛盾，于是將k=7舍去。所以k=-3。

【策略】設而不求，整體代入。

例5 若關于x的方程2x2-2x+3m-1=0的兩個實數根為x1，x2，且x1x2＞x1+x2-4，求m的取值范圍。

解：由韋達定理可知x1+x2=1；x1x2=

整體代入x1x2＞x1+x2-4得＞1-4，且依題意有Δ≥0，

即（-2）2-8（3 m-1）≥0。聯立不等式組解得

【點評】 例4、例5都結合使用了隱含條件Δ≥0。

例6 設a、b、c為實數，且ac≠0，求作一個一元二次方程，使它的兩根b分別為方程ax2+bx+c=0的兩根的倒數加1。

解：因ac≠0，即有a≠0且c≠0。設原方程的兩根為x1，x2，則由韋達定理可知又由c≠0得x1≠0且x2≠0，于是有：

即cx2+(b-2c)x+(a-b+c)=0。

【思路點睛】先正向使用，再逆向使用。

例7 已知a,b兩數分別滿足a2-5=15a，b2-5=15b，求的值。

解：當a≠b時，由根的定義知x2-15x-5=0,a，b為方程的兩個不相等的根，從而由韋達定理可得a+b=15；ab=-5。于是有：

當a=b時，原式=2。

綜上所述，原式=-47或2。

【思路點睛】利用根的定義，建立一元二次方程。

例8 設a,b兩數分別滿足19a2+99a+1=0，b2+99b+19=0，且ab≠1,求的值。

解：由題設條件知a≠0。將題中第一個等式的兩邊同除以a2得到又由ab≠1 得，結合題中第二個等式，可知，b為方程t2+99t+19=0的兩個不同的根，

【關鍵點】將題設第一個等式兩邊同除以a2（a≠0），化成與題設第二個等式結構相同的形式。

例9 已知a，b，c都是實數，且a+b+c=0，abc=1。求證：a，b，c中必有一個大于。

證明：由a+b+c=0及abc=1易知a，b，c中有一個正數、兩個負數，不妨設a為正數。由題設又可得b+c=-a；bc=因此，b，c是方程的兩個根。因為b，c是實數，從而上述方程的判別式Δ=a2-4·又因為a＞0，所以a3-4≥0，a3≥4。于是有

四、應用策略、方法和技巧

1.設而不求、整體代入是韋達定理應用的基本思想和優勢所在。

2.有關根的代數式求值要領是：先將式子作恒等變形，轉化為兩根之和與兩根之積的表達式或其中之一，然后整體代入，繼而求解。

3.韋達定理本身具有對稱性。對稱式一般都可用韋達定理來表示，即表示為x1+x2或x1x2及其運算的形式。對稱式的常見變形有：

4.非對稱式求解經常用到的方法和技巧：

（1）恰當組合；

（2）運用根的定義降次；

（3）作恒等變形或同解變形；

（4）構造對稱式；

（5）整體變換或部分變換。

5.根據需要運用隱含條件，結合使用根的判別式。

6.利用根的定義建立方程，需要先找出（或經變形得到）兩個結構相同的二次等式。

7.逆向使用韋達定理，就是運用韋達定理的逆定理，構造一元二次方程，進而解決問題。其關鍵是能慧眼識金，找出（或設法得到）兩變元之和的表達式與該兩變元之積的表達式。

五、教學安排要領

1.開設數學活動課。

2.利用課余時間舉辦專題講座。

3.印發補充講義，作為課外閱讀材料（兼課前預習）。

4.充分利用數學之窗。

5.講清內容本義和應用的思想方法：

（1）根與系數的關系所指的內容是什么？

（2）為什么要學習根與系數的關系？

這部分不僅對于一元二次方程根的認識的深化、后續課程相關內容的學習（如二次函數等）以及初高中銜接是必要的，而且與所學知識點的聯系較多，應用廣泛，體現了學以致用的品質和創新思維。

（3）什么叫設而不求，整體代入？

（4）根與系數的關系有什么作用？

（5）以典型實例為引導，精講精練，師生互動，讓同學們熟悉韋達定理應用的基本類型，掌握求解策略和具體方法。

[1]黃東坡．韋達定理，數學探究應用新思維九年級[J]．武漢：湖北人民出版社，2016．

[2]葛軍．根與系數的關系及其應用，奧數教程（九年級）第六版．上海[M]：華東師范大學出版社，2014．