平面向量數量積教學的三重境界

江蘇省南通市天星湖中學 吳淑群

數量積是中學數學向量章節中的最后一個知識點，也是最重要的一個知識點。從向量教學來看，讓學生最為困擾的是：如何理解向量數量積以及向量數量積的多層次運用。筆者以為可以設計三重層次來進行教學，加深學生對于數量積的認識。

境界一：概念的理解和基本量運算

眾所周知，數量積屬于向量中比較難以理解的概念之一，一般教學都是以學生已有的知識——物理中的“功”作為引入，讓學生體會。這一概念的教學若不是從學生已有的知識體系入手，是有些困難的，因此，在這里的教學向學生滲透兩個理解：第一是的類比推導，大大加快了數量積的概念理解；第二是注重數量積本質的思考，即從向量維度回到了數量維度，這是數量積最大的本質特性。有了概念的思考，自然就是理解概念中這些基本量的運算。給出問題設計：

分析：數量積可以用來進行幾何垂直的證明，這是其重要特性之一，結合前面平面向量基本定理的知識，熟練使用數量積垂直特性解決問題。

分析：向量數量積的運算可以從自由向量角度進行，也可以從坐標向量的角度進行，對于向量而言，坐標化更體現了向量的代數化特征，因此受到學生的喜歡，在這里的運算中，理解為什么這么算是關鍵。

境界二：性質的理解和思考

掌握了向量的數量積基本運算，我們進一步思考更為關鍵的向量數量積幾何性質。應該認為，數量積所具備的性質與以往的代數運算是大不相同的，這里是學習的難點。什么原因呢？通俗一點說，就是因為以往的代數乘法是一維的，而向量是二維的，在更高維度中的運算如何結合方向？必定不同于一維的代數乘法運算，所以很多性質的理解需要重新思考。

分析：因為概念的學習，產生了在這一概念要求下的性質，比如上述性質是初學者易錯的。性質（3），學生慣有的思維告訴他正確，但是數量積并非是一維的代數乘法運算，因此這種方式顯然是不正確的，何為 ？思考概念的本質，指的是向量 和 各自在向量 方向上的投影相同，因此，這種概念本質的拓展加深了學生對數量積性質的理解。再比如（5），乘法交換律顯然適用于一維代數乘法運算，但是在向量數量積中卻行不通，為什么呢？因為數量積是數量， 和 其實就是 和 （這里x和y是實數），在并不清楚向量 和 的前提下，怎么可能相等？這種理解對于學生而言是提升其不同運算法則的重要認知。

解析：（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯；（6）對。

境界三：極化恒等式的掌握和運用

分析：本題可以從向量中線性質入手，較為容易，但是利用極化恒等式，學生可以直接思考問題的本質，揭示了數量積與和差之間的關系，其解決問題的過程自然更加簡便。

數量積教學是向量教學的難點，筆者建議對學生需要逐步進行、螺旋上升，在基本量熟練運用的基礎上，進一步理解其幾何性質、投影等相關認知，進而思考極化恒等式，這對于學生理解向量、運用向量有更好的作用。

[1]方厚石．向量教學詮釋思維品質[J]．數學通訊，2014（1）．

[2]鮑建生等．向量教學研究[J]．數學教學，2015（1）．

[3]柴賢亭．數學教學中的問題設計[J]．教學與管理，2013（10）．