“初步”也要深刻
——“新基礎教育”視角下《小數的初步認識》的教學思考

浙江省寧波市鎮海區藝術實驗小學 鄭春燕

在一次“新基礎教育”專題研討活動中，學校的徐老師執教了三年級下冊的《小數的初步認識》。課后交流時，有的老師對課中小數認識的“度”提出了疑問，也有的老師對學生活動的設計發出感悟。華師大吳亞萍教授在課后評析中提出了“‘初步’也要深刻”的觀點，指出《小數的初步認識》的教學要讓學生充分感受小數的來龍去脈，既要讓學生經歷小數產生的過程，還要讓學生體驗小數應用的價值，并針對具體環節進行了設計重建，引發了在場老師的共鳴和思考。

一、溯源：解讀教材之“初步”

1．縱觀教材編排

小數的初步認識是小數教學的第一階段，屬于感性認識階段。之前學生認識了萬以內的數，會計算三位數的加減法，初步認識了分數，會計算簡單的同分母分數加減法，學習了常用的計量單位等知識，這些都是認識小數的教學基礎。通過對不同版本教材的對比中發現，對于小數的認識，多數教材的知識邏輯分為兩個階段，第一階段主要是結合元、角、分和長度單位來初步認識小數；第二階段則系統地學習小數的意義。筆者以為，教材的編者意圖是讓學生對小數的認識有一個循序漸進的過程。但在具體的教學中，對于第一階段“小數的初步認識”的教學就出現了兩個問題：一種問題是把小數的“初步”認識上成了“生活中的小數”，只是把用元作單位的小數和幾元幾角幾分進行轉化，這是一年級下冊關于人民幣知識的延續；或是用米尺作為教學材料，直接告知學生用米作單位時可以用小數表示。顯然，這樣的教學是不到位的。而第二種問題是教學的越位現象，提前對小數的意義進行快速抽象，使得學生知其然，而不知其所以然。

2．研讀“新基礎”理念

《“新基礎教育”數學教學改革指導綱要》中指出：“數是學生數學學習需要建立的最為基本的概念。學生關于數的概念的建構質量直接關系到學生當下乃至今后的數學學習質量。因此，要借助于數概念的教學，使學生經歷數概念不斷形成和擴張的過程，感悟數認識的框架性結構的存在……更為重要的是，還要幫助學生了解前人創造發明數的原理之所在，感受滲透其中的智慧和力量。”同時在數概念教學長段遞進性目標設計中也明確了《小數的認識》的教學目標：從數認識的框架結構出發認識小數，知道小數與整數和分數的內在關系；了解小數結構與整數結構的內在一致性；掌握小數的構造結構，并運用這個結構生成新的小數。

從小數的知識結構分析中我們可以看到，用小數可以表示整數個位以下的部分，不僅產生比個位更小、更精確的單位，而且還體現了無限逼近的數學思想。因此，“小數的認識”的教學，要使學生經歷在數射線上把相鄰兩個整數之間的距離平均細分并用小數進行表示的過程，幫助學生了解小數形成過程的來龍去脈，理解小數所特有的精確性作用，幫助學生知道在數射線上任意兩個整數之間有無限多的小數存在，建立起對小數的內涵認識和基本敏感，更為重要的是，還要幫助學生體會無限逼近的數學思想，感受前人在發明小數過程中的偉大智慧。那么在小數的初步認識的教學過程中，就需要對內容進行結構加工和重組，對小數的認識進行整體設計，讓學生在“初步”認識中形成對小數“全貌式”的初步認識，之后才能在第二階段的小數學習中對小數意義進行分化的具體認識?；谶@樣的結構化的教學，才能幫助學生建立起對小數的基本敏感，并能運用這種結構去完善頭腦中的數概念。

可見，“初步”認識更要進行全盤化、結構化的設計，更要讓“初步認識”在學生頭腦中留下“深刻”的印象，才能突顯“小數的認識”的育人價值。

二、剖析：重建教學之“深刻”

《“新基礎教育”數學教學改革指導綱要》中提出：數概念的教學要遵循三項基本原則，即意義關聯的原則；創造生成的原則；關系溝通的原則。結合吳亞萍教授的評析與三項教學原則，筆者對《小數的初步認識》的教學進行了梳理和重構。

1．意義關聯的原則——經歷小數的產生要“深刻”

原則再現：老師應盡可能讓學生經歷從現實生活中抽象出數的過程，使學生能夠感受數在現實生活中的具體意義。在數概念認識的初期，考慮到學生年齡尚小，可由教師提供豐富的生活情境。

【環節一】用精心設問引發深刻的思考。

（1）估計22÷3的商大約是多少？商在哪個數之間？這兩個數之間還有什么數？

（2）小明和小亮的身高用厘米作單位大約都是132厘米，這兩個人誰更高一點？

深思：對于22÷3的商的范圍，學生根據已有知識經驗，可以判斷出其整數范圍，介于7和8這兩個整數之間。同時根據生活中見到的小數，也很清楚7和8之間還有七點幾之類的數。這樣的設問足以喚醒學生已有的知識經驗和生活經驗，實現這兩種經驗的溝通。對于問題（2），學生會分成兩層階梯去回答，直覺思維會讓一部分孩子得出兩人一樣高的結論，隨著其他部分孩子的質疑，通過進一步思考，學生又會深入思考：如果量出毫米作單位的話，就會比出兩人的身高。這樣的設問首先讓學生體會到更精確的意義，同時思考132厘米幾毫米的數該怎樣表示，有了這樣的數就能比出大小、高矮和多少了。相較于之前的反問：“這兩個數之間還有數嗎”和“這兩個人的身高能比嗎”，兩個設問的指向性更強，更能讓學生深刻地體會到小數是因需要而產生的。

【環節二】用多維表述形成深刻的認識。

活動材料：這里有一條線段，我們把它看作1米，也可以想成是一把米尺。

（1）0和1之間還有哪些數呢？

（2）之前我們學習過分數，現在我們把這1米平均分成10份，請你把0和1之間的分數表示出來。

（4）你能像這樣表示2分米、3分米……9分米嗎？

深思：這樣的設計體現了二次重心下移：一次是讓每個學生寫出把1米平均分成10份后，之間產生的分數；第二次是讓全體學生仿寫出米所對應的小數。兩次人人參與的活動充分利用了學生的生活經歷和已有認知，激活了相關經驗和相關知識基礎，引導學生在多次表述（多維表述）中感悟一位小數的含義，促進學生的正遷移。同時，作為初步認識小數的教學，設計中只重視學生在具體情境下對小數的表述，并不急于歸納小數含義。學生從幾分米對應到十分之幾米，再對應到零點幾米，多維表述下，學生自主將生活中的實體對應抽象成數，充分感受小數在現實生活中的具體意義。

2．創造生成的原則——感知小數的意義要深刻

原則再現：為了讓學生充分感受和學習人類祖先在發明創造數的過程中的偉大智慧，教師要改變教材呈現知識的順序，把斷裂的知識進行修復，引導學生借助已有的知識結構主動認識新的數，讓學生經歷新的數、計數單位和數位的不斷創造生成的過程。

【環節三】變換單位，讓理解更深刻。

（1）這條線段除了可以表示1米外，還可以表示1（ ）？這時，0和1之間的這些分數又可以怎樣表示？對應的小數呢？

（2）觀察這些表示不同量的小數，它們有什么共同點？

（3）去掉線段上的單位，出示0.9，這個小數在哪里？再增加一段就是（ ）？

深思：借助學生熟知的米制系統建立起的小數認知結構，主動遷移至其他的量，認識不同量中的新的小數，讓學生感受“量”在變化，但小數的意義不變，學生在不同的量中主動建構出小數。

【環節四】增加維度，讓意義更深刻。

（1）小結：在這條線段中，我們從不同的1（ ）中，發現了和認識了0～1之間的這些小數，還知道了小數和分數的關系。

（2）在下面這幾幅正方形圖中，你能找到0.5這個小數嗎？

深思：學生在熟悉、具體的量中感受到的小數和數學上的小數還是有較大的區別，即學生還不能從小數含義角度理解。英國沃瑞克大學的韜爾教授等人分析，數的概念是一個典型過程型概念，也就是說它既是過程，又是概念。數的概念的這種兩重性一方面增加了概念的內涵，另一方面也為教學提供了一種層次，使學生在具體操作的基礎上，通過壓縮和內化，逐步形成作為對象的概念，并納入已有的認知結構。通過米制系統，線段、圖形等直觀、半直觀模型，讓學生在熟悉的、有交流內容的、能說出具體事例的情境支持下，對小數概念形成充分的感知，為后續層層剝離表面現象建立概念打下基礎。從一維線段圖到二維正方形圖的拓展，不只讓學生對小數的意義認識更深刻，也讓學生感受到不斷創造生成小數的過程。

3．關系溝通的原則——整體感悟小數要深刻

原則再現：數概念教學中要注意從兩個層面溝通整數、分數和小數的內在關聯：一是整數內部層面的關系溝通，二是整數、小數和分數之間的關系溝通。后者的主要溝通任務有：要溝通整數、小數和分數的認識內容之間的關系，提示數概念體系的知識框架，即整數、小數和分數從表面上看各不相同，但都是從數的意義、組成、讀寫、排序和分類等方面來認識，幫助學生形成數概念認知的結構化；溝通整數和分數之間的實體關系和抽象關系，揭示分數概念中部分與整體的相互關系，幫助學生感悟、理解和掌握分數的抽象意義、基本單位與組成；要溝通整數與小數之間的十進制關系，使學生能夠運用小數的構造特點創造生成新的小數。

【環節五】深刻感知小數的無限存在。

（1）0～1這段只是數射線上的其中一段，我們一起看看數射線后面的部分，先來看1～2這一段，這之間有哪些小數呢？你是怎么找到它們的？

（2）現在我們再看22÷3，它的商可能是哪些小數？

（3）除了1～2，2～3，8～9之間存在著這樣的小數，其他的相鄰的兩個整數間也有這樣的小數嗎？舉個例子說一說。

（4）觀察情境圖：姚明身高2.26米，

試著讀讀這個小數，你覺得它可能在數射線上的哪個位置？怎么能得到它？

深思：這一環節體現了教學的第三次重心下移：學生在0～1之間找小數已經很熟練了，但對于數概念的溝通還沒有形成，只是0.1～0.9這幾個小數的點對點上的認識。這樣的設計讓學生深刻地體會到每兩個整數之間都有這樣的小數存在，同時幫助學生建立起對小數的內涵認識和基本敏感，更重要的是，借助這樣的環節，拓寬了學生對小數的認知，溝通了小數與整數的關系，滲透了無限逼近的數學思想，學生深刻地體會到了小數的無限存在和細分之后，小數特有的精確性。

三、審視：關注育人價值是出路

“新基礎教育”研究強調對數學學科的獨特價值和不同內容具體價值的開發。綜觀上述教學過程，基于“育人價值”的教學設計，才使數學教學有可能生成豐富而又多元的資源，學生的精神世界才有可能從中獲得多方面的滋養，數學教學才有可能實現促進學生成長發展的價值。