二次函數圖像中存在相似三角形的問題解析

山東省日照市東港實驗學校 孫承娟

下面我們以幾道經典例題的分析方法和解答步驟為例作以說明。

一、分類討論，體現“對方程與函數、分類討論思想和方法的考查”

例1 如圖所示，拋物線經過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）。

圖1

（1）求此拋物線的解析式；

（2）P是拋物線第一象限上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由。

解析：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），

∴可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2，

（2）存在，如圖2所示，設P點的橫坐標為m，則P點的縱坐標為當1＜m＜4時，AM=4-m，

∵∠COA=∠PMA=90°，

△APM∽△ACO，

解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）；

圖2

類似地可求出當m＞4時，P（5，-2）；當m＜1時，P（-3，-14）。

綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）。

評注：求相似三角形的第三個頂點的坐標時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形，再根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊進行分類討論，從而體現出“對方程與函數、分類討論思想和方法的考查”。

二、數形結合，培養“轉換”思想和意識

例2 如圖3所示，已知：拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G。

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；

（3）在（2）的條件下，連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由。

圖3

解析：（1）∵拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，0），點C（0，4），

∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，

（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以 P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似。理由如下：

要使以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，只需△PFC∽△AOC即可。

分兩種情況討論：

①若△PFC∽△AOC，則PF:CF=OA:OC，且∠PFC=∠AOC=90°，即

在直角三角形CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM為直角三角形。

②若△PFC∽△COA，則PF:CF=OC:OA，且∠PFC=∠AOC=90°，即∶m=4∶3，

∵m≠0且m≠3， ∴m=1。∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF，∴CP=CM， ∴△PCM為等腰三角形。

綜上所述，存在這樣的點P，使以P、C、F為頂點的三角形與△AEM相似，此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形。

評注：本題是綜合性很強的題目，需要運用“轉換”的思想。學會數學“轉換”或“轉化”，有利于實現復雜問題簡單化，從而可以較快地提高學習質量和數學能力。就本題而言，訓練學生運用數形結合思維分析解決問題，有助于將“轉換”思想內化成學生的一種數學解題策略和意識。