如何動手造“抽屜”

江蘇省蘇州市立達中學校 趙莉娟

生活中處處充滿著數學，我們所知道的一些常識性的簡單事實往往蘊含著數學原理。例如，三個蘋果放在兩個抽屜里，必有一個抽屜里至少放了兩個蘋果；五個蘋果放在兩個抽屜里，必有一個抽屜里至少放了三個蘋果；八個蘋果放在三個抽屜里，必有一個抽屜里至少放了三個蘋果。這都是很通俗易懂的道理，數學里稱之為抽屜原理。正是這個簡單的道理，可以幫助我們解決不少復雜的、趣味的、富有挑戰性的初中競賽題。下面就給大家簡單介紹一下抽屜原理的應用。

一、抽屜原理在代數中的應用

抽屜原理在代數中的應用常表現為以下幾個類型：對整數集合分類造抽屜、使用數偶造抽屜以及利用數字的特殊性質造抽屜。

例1 求證在任意的1997個自然數a1,a2,...,a1997中，總可以找到其中若干個數，使它們的和是1997的倍數。

【評析】我們常用對模n同余分類法造成n個抽屜，如：以2為模，將全體整數分為“余0類”（偶數）和“余1類”（奇數）兩個“抽屜”；以3為模，將全體整數分為“余0類”“余1類”“余2類”三個“抽屜”……以n為模，可以將全體整數分為“余0類”“余1類”…“余（n-1）類”共n個抽屜。

例2 求證在坐標平面上，任取五個整點，其中一定存在兩個整點，它們的連線中點仍是整點。

證明：平面上整點的坐標是有序整數對（x，y），對其按整數奇偶性分類，一共有四類，即（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），這樣就造成了四個“抽屜”，五個整點的坐標與這四個抽屜對照，至少有兩點坐標奇偶性相同。不妨設這兩個整點是由于x1與x2,y1與y2的奇偶性相同，所以均為整數。即線段A1,A2的中點是一個整點。

【評析】本題的關鍵是要從“任取五個整點”想到應該造4個抽屜，并從“在坐標平面上”想到這四個抽屜應該由數對構成，只要想到這兩點問題就迎刃而解了。

例3 某地參加數學邀請賽的82名選手中總能選出10名選手，他們要么來自同一所學校，要么來自10所不同的學校。請你證明這個結論。

證明：82名選手所在的學校只有兩種情形：他們來自不少于10所學校或他們至多來自9所學校。

（1）如果82名選手來自不少于10所學校，那么從其中10所學校中的每校各擇一名選手，即符合“10名選手來自10所不同學校”的要求。

（2）如果82名選手至多來自9所學校，把9所學校看成9個“抽屜”，82名選手看成82個“蘋果”，根據抽屜原理，可知必存在一個抽屜中不少于個“蘋果”，即至少有10名選手來自同一所學校。（①[a]表示不超過a的最大整數）

【評析】本題是利用數字的特殊性質構造抽屜。問題的關鍵是要先將82名選手所在的學校情形分為兩種。

從以上的3例中可知運用抽屜原理解題，首先要搞清需要對哪些元素（對象）進行分類（分成若干個集合），其次要找出分類規則（俗稱“構造抽屜”），最后運用抽屜原則得出結論。這里的關鍵步驟是構造抽屜，因此要掌握構造抽屜的基本技巧和方法。

二、抽屜原理在幾何中的應用

例4 在3×4的矩形中放置6個點。求證：總可以找到兩個點，它們的距離不大于

分析：容易想到應將3×4的矩形分成五個“抽屜”，每個“抽屜”的“尺寸”——兩點中的最大距離不超過。容易想到是邊長分別為1和2的小矩形的對角線的長。但用邊長分別為1和2的小矩形當“抽屜”（如圖1）可以造出6個“抽屜”，不符合使用抽屜原則的條件。因此應適當改變抽屜的形狀，造出5個抽屜，并使得每個抽屜中兩點間的最大距離均不超過

圖1

證明：將3×4的矩形分成5個“抽屜”，在矩形中任意放置6個點。由抽屜原理，至少有兩個點屬于同一個抽屜。由這5個抽屜的構造得，這兩點的距離不大于原命題得證。

【評析】請大家要注意，利用抽屜原理構造的抽屜并不要求彼此大小形狀相同，只要都滿足題目中的條件即可，如該題中都滿足抽屜中兩點間最大距離不超過的要求。

例5 圍著一張可轉動的圓桌，均勻地放10把椅子，在桌上對著椅子放有10人的名片。當10人隨意入座后，發現誰都沒有對著自己的名片。求證：適當地轉動桌子，至少能使兩人對上自己的名片。

證明：將桌子按逆時針方向旋轉，每轉36°就得到一種名片與人對應的狀態，總計有10種不同狀態（開始的狀態與轉一周后的狀態完全相同）。在這10種狀態中，每人都恰有一次機會對著自己的名片，即人與自己的名片共有10次對號。由于最初的狀態里，誰都沒有與自己的名片對上號，即人與自己名片對上10次是分布在9個狀態里。根據抽屜原理，必有一個狀態里，人與自己名片至少對上兩次，即至少有兩人對上自己的名片。

【評析】本例中所構造的抽屜是對象的狀態，它不像對圖形分割那樣直觀，也不像對整數分類或利用數對那樣具體，因此有很大難度。

應用抽屜原理證明問題，關鍵在于“構造抽屜”，即找出合乎題目條件的分類方法。雖然我們例析了一些構造抽屜的方法，但最本質的是根據對象特點進行恰當的分類來構造抽屜，要具體問題具體對待，切忌生搬硬套。抽屜造得好，造得巧，不但可以證得十分漂亮的結果，給人以數學美的享受，而且也是對解題者數學能力與素質的很好度量。