高中數(shù)學(xué)“函數(shù)與方程思想”教學(xué)實(shí)踐與研究

余慧強(qiáng)

【摘要】函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重向?qū)W生滲透這種數(shù)學(xué)思維，幫助他們快速掌握以便提升數(shù)學(xué)成績(jī)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 函數(shù)與方程思想 教學(xué)研究

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）03-0141-01

函數(shù)思想指解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，將其中內(nèi)在的數(shù)學(xué)特征以函數(shù)的形式來(lái)表達(dá)出來(lái)，其精髓在于抽象得到問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。方程思想與函數(shù)思想緊密相連，是指在解決問(wèn)題時(shí)通過(guò)設(shè)置未知量的方程來(lái)求得未知數(shù)，此時(shí)，方程可視為溝通已知與未知之間的“橋梁”。函數(shù)與方程思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的建模和分析階段，這兩步恰好能夠?qū)?shí)際難題變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題，從而使得數(shù)學(xué)成為人類(lèi)探索自然的工具。

一、高中學(xué)生掌握現(xiàn)狀研究

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往注重于方法的傳授，而忽略了學(xué)生思維的培養(yǎng)，函數(shù)與方程思想?yún)s是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)。函數(shù)與方程思想的應(yīng)用涉及到高中數(shù)學(xué)的很多方面，如，導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、實(shí)際應(yīng)用題等等。但是，在平時(shí)的測(cè)試中，學(xué)生卻好高騖遠(yuǎn)在沒(méi)有打牢基礎(chǔ)的前提下，追求高難度解題，從而導(dǎo)致中等難度試題失分嚴(yán)重。這種局面的出現(xiàn)，教師應(yīng)當(dāng)擔(dān)負(fù)一定的責(zé)任，由于在日常教學(xué)中需要應(yīng)付各類(lèi)考試造成長(zhǎng)時(shí)間的“填鴨式”教學(xué)，這擠占了學(xué)生的自主思考時(shí)間，從而使他們不能及時(shí)消化數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)知識(shí)能夠提升學(xué)生的運(yùn)算和空間想象能力，還可以提升他們的思維能力，這些能力卻是其日后邁入社會(huì)的關(guān)鍵能力，因此學(xué)好數(shù)學(xué)異常重要。學(xué)生應(yīng)當(dāng)從以下幾個(gè)方面來(lái)提升自己的函數(shù)和方程思想：（1）注重最基本的知識(shí)、思路，總結(jié)教師課堂講授的內(nèi)容和其他同學(xué)的成功經(jīng)驗(yàn)，將這些東西內(nèi)化為自己的能力，通過(guò)梳理新舊知識(shí)，構(gòu)建自身的知識(shí)體系，能夠游刃有余地解答中高難度試題；（2）注重積累，要能夠?qū)⒑瘮?shù)與方程思想與其它思想方法聯(lián)系起來(lái)，總結(jié)典型習(xí)題，堅(jiān)持長(zhǎng)期積累；（3）培養(yǎng)“題感”，做題需要一定的題感，提升自己的認(rèn)知能力，在不斷地實(shí)踐過(guò)程中來(lái)尋找正確的思路。

二、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用

在講課過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注意講授某個(gè)具體問(wèn)題解決過(guò)程中函數(shù)和方程思想，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確答題。學(xué)生在學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用函數(shù)與方程的觀點(diǎn)，從多角度進(jìn)行思考活動(dòng)，努力嘗試多種方法，最終得到最優(yōu)的解題方法。針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的難以靈活進(jìn)行函數(shù)與方程二者之間轉(zhuǎn)換的情況，為了避免在解題中出現(xiàn)一些問(wèn)題，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)地歸納、總結(jié)，培養(yǎng)其解題能力，同時(shí)還要讓學(xué)生之間進(jìn)行相互交流、學(xué)習(xí)成功的經(jīng)驗(yàn)。

例：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿(mǎn)足以下條件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根，求：（1）函數(shù)f（x）的解析式；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n（m

解析：（1）∵f（x）=ax2+bx有等根，∴Δ=（b-2）2=0，得b=2

由f（x-1）=f（3-x）知此函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-■=1，得a=-1，故，f（x）=-x2+2x

（2）f（x）=-（x-1）2+1≤1，∴4n≤1，即n≤■。

而拋物線(xiàn)y=-x2+2x的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，∴n≤■時(shí)，f（x）在[m，n]上為增函數(shù)。

若滿(mǎn)足條件的m，n存在，則f（m）=4mf（n）=4n得，m=0或m=-2n=0或n=-2，又m

三、與其他思想的應(yīng)用聯(lián)系

數(shù)學(xué)是一個(gè)完整的整體，函數(shù)與方程思想不能單獨(dú)地存在，在面對(duì)一些難度較高的問(wèn)題時(shí)，這就需要幾種數(shù)學(xué)思想綜合解決。在幾何難題中，數(shù)量關(guān)系和幾何空間結(jié)合能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)形結(jié)合，而在某些知識(shí)點(diǎn)（如，單調(diào)性、值域等）中數(shù)形思想會(huì)與函數(shù)思想結(jié)合考查。分類(lèi)思想也會(huì)與函數(shù)方程思想結(jié)合使用，如在某些函數(shù)的單調(diào)性研究過(guò)程中，此外，還有轉(zhuǎn)化與化歸思想，也會(huì)與函數(shù)方程思想結(jié)合。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生滲透這些思想的綜合運(yùn)用，使他們能夠綜合應(yīng)用這些思想來(lái)解答遇到的一些難題。

若（1-2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），則（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=____（用數(shù)字作答）。

解析：以函數(shù)為發(fā)散點(diǎn)，各種數(shù)學(xué)思想和方法綜合運(yùn)用，令x=0，得a0=1，令x=1得a0+a1+a2+…+a2004=1，∴a0+a1+a2+…+a2004=0。

（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=2004a0+（a0+a1+a2+…+a2004）=2004。

點(diǎn)評(píng)：此題推陳出新考查二項(xiàng)式定理，如果采用二項(xiàng)展開(kāi)式定理來(lái)求a1，a2，再進(jìn)行求和，這樣就會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算量大，且學(xué)生很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。如果用函數(shù)思想和整體性思想看問(wèn)題，視（1-2x）2004為以x為自變量的一元多項(xiàng)式函數(shù)f（x），就能將離散的問(wèn)題看成連續(xù)的問(wèn)題，在運(yùn)用賦特殊值法，從而巧妙地求出問(wèn)題的答案。

總之，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)講授“漁”的方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而幫助他們順利地走入理想的高校。

參考文獻(xiàn)：

[1]卓雅.函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（08）

[2]沈俊峰.合理轉(zhuǎn)化，提升函數(shù)與方程思想解題效能[J].數(shù)理化解題研究，2017（02）