以應用為導向的研究生矩陣論公共課程教學改革的探索

謝挺 鐘堅敏

摘要：作為一門重要的研究生基礎課程，矩陣論對培養研究生的數學應用和創新能力具有重要作用。論文以“應用為導向”作為矩陣論課程改革的突破口，從教材及教學內容、教學過程及形式、考核體系三個方面進行探討，并提出了具體的改革措施。

關鍵詞：矩陣論；研究生；教學改革

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）09-0125-02

矩陣是一個重要的數學基本概念，是數學研究和實際應用中的一類重要工具。矩陣理論本身的研究是極具創造性的領域；同時矩陣理論又極大地推動和豐富了其他眾多科學的發展，許多新的理論、新的方法、新的技術的誕生、發展和應用就是矩陣理論的實踐和推廣[1]。特別是隨著信息科學和互聯網技術的飛速發展，矩陣作為一種通用的信息表示形式，已經成為信息時代的重要工具。矩陣論課程在國內研究生中大規模開設始于20世紀80年代，并逐漸成為我國高校研究生的一門重要公共基礎課。矩陣論不僅是后繼專業課程的基礎，也是對研究生進行思維模式的培養手段。為不斷提高教學效果和人才培養質量，適應信息和大數據時代對人才的新要求，根據當前的培養要求、學生水平和教學特點，以應用為導向，從教材及教學內容、教學過程及形式、考核體系三個方面進行課程改革。

一、面向應用的教材及教學內容的遴選

由于矩陣理論是數學學科中的一個重要內容，其相關理論的產生、發展和早期的應用主要來源于數學代數學科。正是這樣的歷史原因，導致目前主要的矩陣論教材基本上都是常規數學教材的編寫或是縮寫。按照數學的思路來編寫矩陣論教材，將不可避免地強調嚴格的理論證明、抽象的思維能力以及復雜的數學技巧，而忽視實際的應用知識介紹[2]。另一方面，鑒于師資力量的水平，目前大多數高校的研究生矩陣論課程基本上是由數學專業的教師擔任，數學專業的教師在教學內容的選取上易偏向于理論和推導，從而導致課程的理論化、公式化，使得學生失去學習興趣，極大地影響后續課程的學習和人才培養質量。

在面對目前存在的教材選擇及教學內容選取兩方面的問題時，可以根據各個學校及各類層次的研究生培養實際情況嘗試不同的應對策略。第一，當學生規模達到一定數量時，針對不同的學科類別進行開班，不同學科的學生可以嘗試不同的教材，特別是一些“新理論、新方法、新技術”[3]。不同學科背景的教材能夠很好地體現矩陣論在該學科中的具體應用形式，能讓學生有針對性地做好知識儲備。如：有的偏重于計算，有的偏重于理論，有的偏重于應用等等。第二，在編寫教材時，為了擴大受眾面，往往將內容編寫得多而全。目前大部分教材基本上都包含了線性空間與變化、矩陣分解、矩陣分析、特征值的估計、特殊矩陣、矩陣的廣義逆等內容。可以根據工科中使用矩陣理論的主要方面和發展方向，在有限的課堂教學時間內將教學內容做適當的選取，明確主次，提高教學的效果和針對性。一般來說主要學習范數、矩陣分解、廣義逆、矩陣的積分與微分、特征值的表示與估計、矩陣微分方程。同時，可以考慮結合研究前沿增加非負矩陣分解、Matlab軟件等內容。第三，在教材選定、教學內容確定的情況下，任課教師在教學安排時對相關內容的處理也非常關鍵。既要考慮到矩陣論課程的整體性，也要突出其在工程應用中主要涉及的內容；既要考慮到其理論推導的邏輯性，也要兼顧其學習主體的數學基礎。課程中教與學難度較大的內容，如Jordan標準形的理論推導等可作適當處理，在整體上講清思路及應用方法，在具體推導的細節上省略。

二、面向應用的教學過程和教學組織形式

在矩陣論課程的教學過程中，由于研究生人數的不斷增加，每個教學班級的人數顯著增加，使得教學過程中出現了類似于本科的大班公共課程教學中出現的一些問題，即“本科化”：采用傳統的教師講、學生聽的傳授式教學模式；缺乏培養學生研究能力的實踐環節；教學信息量小；教學過程中學科交叉少；缺乏發現問題的創新精神[4]。對于經過大學培養階段的研究生，一般都具有較好的自學和思考能力，對于他們來說，記住多少數學知識不應該是主要的目標。在教學過程中應主要培養思維方式和應用能力，運用矩陣視角來觀察問題、分析問題、解決問題，從而達到掌握矩陣方法，提高解決實際問題的能力。

良好的教學過程和組織形式能提高教學效果，在目前大班教學的現狀下，可以從強化應用思想、豐富教學手段、增加實驗課程、推廣問題驅動、加強科研引導等方面開展改革嘗試。第一，矩陣理論雖然應用廣泛，但是其基礎理論比較抽象。為了教學中深入淺出、通俗易懂，必須和相關的背景相結合，以問題為導向來考慮相關概念的講授和理解。比如：在非負矩陣分解中，矩陣可視為一組基的線性組合，結合壓縮感知背景就很易理解。第二，在豐富教學手段方面，采用“黑板+課件”的講課形式，定義、定理及相關結論全部在課件上顯示，理論推導過程在黑板上進行同步講解。同時，可適當引入數值實驗課程，以Matlab軟件為平臺，將模擬實驗和理論課程相結合，不斷提高學生的應用能力。第三，大力推廣問題驅動的教學模式。在學習矩陣理論時，要首先使學生對此知識點的某個工程應用背景有所了解，在相關問題的驅動下開始課程的學習。例如，在線性定常控制系統中系統的極點是一個重要指標，而其剛好是矩陣的特征值，給出了特征值或其范圍，就確定了控制系統的穩定性、可控性[5]。其次，介紹新知識、跟蹤新技術也是一種重要的問題驅動模式，對提高學生發現和聯系問題的能力，增強創新意識具有重要作用。第四，數學建模是培養學生在交叉學科間開展探索研究能力的主要手段[5]。數學建模的過程就是利用數學工具解決實際問題的過程。在稀疏優化模型、系統控制模型、數據預處理模型等常見的數學建模中都利用到矩陣相關理論。如：曲線擬合問題中給出了一組數據要求找出其規律，該問題最后可通過最小二乘法轉化為解線性方程組。第五，在教學過程中加強對科研思想的引導，可從兩個方面考慮：一是要求學生閱讀一定量的涉及學科研究前沿并與課程相關的中英文論文，并把文獻的研討作為課程的重要內容；二是可為學生提供難易適度、既有挑戰性又有操作性的研究主題，讓學生通過思考、討論來解決問題，培養其科研思維能力。

三、面向應用的課程考核體系

考核對一門課程的建設具有指導性作用，它直接反映了一門課程的教學效果和培養重點。傳統的“本科式”教學模式的考核形式為“期末考試+平時成績”，這種以考核學生解題能力為主的方式基本不涉及到應用和創新能力的考核。矩陣是一種重要的數學工具，其培養目標主要是要求學生能夠熟練地利用這種工具來分析和解決問題。因此矩陣論課程的考核目標應是在掌握基本知識的基礎上具有靈活應用的綜合能力。

為加強過程考核，提高學生的應用能力，可將課程考核分為四個部分：內容考核、綜述考核、計算考核、應用考核。第一，內容考核。主要是知識點的考核，主要以傳統的試卷形式開展，占總成績40%左右。第二，綜述考核。將相同專業的3-5個學生分為一組，要求在期末時提交一篇以“矩陣論在本專業中應用”的綜述文章，占總成績的20%左右。第三，計算考核。在矩陣論學習時要求熟練掌握Matlab軟件和一些算法，課程中期可以安排一次編程作業，如矩陣分解、特征值等，占總成績的10%。第四，應用考核。將學生按照專業3-5人分為一組，解決一個難度適中的實際問題，從問題的提出、分析、建模、計算等流程來進行，最后形成一遍應用驅動的論文，例如對“圖像處理中的非負矩陣分解”問題來進行簡單研究。占總成績的20%。

一方面，隨著科技和經濟的不斷發展，對矩陣論課程的教學質量提出了更高的要求；另一方面，隨著研究生教育改革的不斷深入，對矩陣論課程的教學模式產生了深刻影響。在如何開展面向應用的矩陣論課程教學改革、將數學工具與相關專業有效結合等方面，還有很多的發展空間。因此，在面向應用的導向下，應不斷開展矩陣論課程的教學研究，不斷提高創新型研究人才的能力和水平。

參考文獻：

[1]羅從文，王高峽.“矩陣論”課程教學中理論與應用相結合的思考與探索[J].中國電力教育，2012，（26）：76-77.

[2]崔景安，張艷，王曉靜，鄭連存.與工科專業相結合的矩陣論課程教學改革的探索[J].高教研究與實踐，2014，33（1）：38-41.

[3]毛立新.面向工程應用的矩陣論課程教學改革與實踐[J].科教文匯，2016，（5）：26-27.

[4]劉碧玉，劉慶平，唐先華.工科研究生矩陣論課程教學改革的探索與實踐[J].數學理論與應用，2013，33（1）：125-128.

[5]趙禮峰.工科研究生矩陣論課程教學改革研究與實踐[J].大學數學，2013，29（4）：1-3.