初中數學中考壓軸題的解題策略與技巧

金津津

（上海市民辦立達中學，上海）

在對初中數學中考壓軸題的解題策略和技巧進行分析的基礎上，對壓軸題解題技巧進行梳理，深入探討多種解題思想，并在此基礎上進行擴展，充分挖掘壓軸題的特色和規律。從歷年中考數學壓軸題設計來看，一般是代數和幾何的綜合題。多年來是以函數和幾何圖形綜合考查的方式，其中考查到三角形、四邊形、圓和相似等有關知識點，比較普遍的綜合考查方式，還有方程和圖形的綜合等幾個問題。本文通過對中考數學壓軸題的分析，總結具體的解題策略，幫助學生構建完整的知識體系，從容應對中考。

例 1.如圖，已知 y=x2-hx+c拋物線經過 A（0，-1），B（4，-3）兩點。

（1）求拋物線的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，點M是拋物線上一點，直線MN平行于y軸，交直線AB于點N，如果M，N，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標。

解析：（1）首先將A，B兩點的坐標帶入 y=x2-hx+c，得 c=-1，16+4h-c=-3，可得所以拋物線的解析式是

（2）過點B作BC⊥x軸，垂足為點C，過點A作AH⊥OB，垂足為點H。

（3）直線AB的解析式為y=-1x-1，設點M的坐標為（m，2點 N的 坐 標 為那 么 MN=因為M，N，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，所以MN=BC=3，解方程m2-4m=3，解得m=解方程-m2+4m=3，解得m=-1或3，所以符合題意的點N有四個

這道題是典型的拋物線問題，考查函數思想。將拋物線和直線綜合考查，需要學生具備方程思想和函數思想。

例2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，經過點 B 的直線 L（L不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于∠ABC，分別過點C、點A作直線L的垂線，垂足分別為點D，點E。

（1）若∠ABC=45°，CD=1（如圖），則AE的長為；

（2）寫出線段AE、CD之間的數量關系，并加以證明；

求BD的長。

（1）∵∠ABC=45°，

∴∠CBD=45°，

∵CD=1，

∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，

AE=2。

（2）線段AE、CD之間的數量關系為AE=2CD．

證明：如圖1，延長AC與直線l交于點G．

依題意，可得∠1=∠2．

∵∠ACB=90°，

∴∠3=∠4．

∴BA=BG．∴CA=CG．

∵AE⊥l，CD⊥l，

∴CD∥AE．

∴△GCD∽△GAE．

圖1

∴AE=2CD．

（3）【解析】

當點F在線段AB上時，如圖2，

過點C作CG∥l交AB于點H，交AE于點G．∴∠2=∠HCB．

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠HCB．

∴CH=BH．

∵∠ACB=90°，

∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．

∴∠3=∠4．

∴CH=AH=BH．∵CG∥l，

∴△FCH∽△FEB．

圖2

設 CH=5x，BE=6x，則 AB=10x。

∴ 在△AEB 中，∠AEB=90°，AE=8x．

由（2）得，AE=2CD．

∵CD=4，

∴AE=8．

∴x=1．

∴AB=10，BE=6，CH=5．

∵CG∥l，

∴△AGH∽△AEB．

當點F在線段BA的延長線上時，如圖3，

圖3

∴HG=3。

∴CG=CH+HG=8．

∵CG∥l，CD∥AE，

∴四邊形CDEG為平行四邊形．

∴DE=CG=8．

∴BD=DE-BE=2．…（6 分）

同理可得 CH=5，GH=3，BE=6．

∴DE=CG=CH-HG=2．

∴BD=DE+BE=8．

∴BD=2或8.