幾何概型的關鍵“點”

余建國

幾何概型中的每個基本事件可以視為從區域D內隨機取一點。例如，用剪刀隨機剪斷一根繩子，斷處就是一個點；又如，向一個網盤投擲飛鏢，飛鏢擊中網盤就是一個點；再如，在1L高產小麥種子中混入l粒帶麥銹病的種子，可以將這粒種子看成一個點等等，但有些問題中的“點”看起來就不是很明顯，或根本就不是點，這樣的幾何概型如何求解呢？

與本題類似的是“會面問題”，都有兩個相互獨立的變量，從而將基本事件理解為平面直角坐標系中的點，同學們可以參照求解。

鑿例3 在圓O上隨機取三點A， B，c，求△ABC是銳角三角形的概率。

分析 三個點隨機取，是不是有三個獨立的變量，轉化為三維空間內取點呢？還有同學說，不能面直徑，那就在直徑上方先面一條線AB，第3個點C不能在AB上方取，只能在AB下方取，所以概率是1/2。這些解法其實都沒有數學的邏輯推理和抽象概括，全憑感覺！

事實上，換一個等價的、且仍然保證“等可能性”的說法：從圓心O出發任意作三條射線，與圓周分別交于A，B，C三點，如圖4。由于∠A=1/2∠BOC等，要使△ABC是銳角三角形，當且僅當∠BOC，∠COA，∠AOB都小于丌，而∠BOC十∠COA十∠AOB=2丌，故設兩個獨立變量，基本事件就轉化為點了。

在平面直角坐標系中，面出Ωn，A所對應的平面區域D，d，如圖5，其中D指等腰直角三角形，d指陰影部分。所以，P（A）=d的面積/D的面積=1/4。

總結上面三個問題，解決幾何概型關鍵首先要看到“點”，任何基本事件都必須轉化為“點”，且保證取點的等可能性；其次，隨機事件A的發生可視為恰好取到區域D內的某個指定區域d中的點，記住是指定區域！如果發現區域“飄忽不定”，可能是變量不夠用了，此時應該升維。

這個“點”可能是實實在在的點，如飛鏢的落點、繩子的斷點、到達車站的時間點等，也有可能是我們為了等可能性而構造出來的點，而不是題目條件中的幾何點，總之，要抓住幾何概型的關鍵“點”。endprint