老師，這類對稱性問題橢圓與雙曲線可以類比嗎

王思儉

很多同學對解析幾何有畏難情緒，怕運算的現(xiàn)象由來已久，小題、基本題不愿意做，而綜合題又做不出來，特別在考試時面對靈活性或綜合性的圓錐曲線試題，多數(shù)采取放棄的態(tài)度。究其原因，相當一部分同學對圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)理解不深、記憶不牢、運用不靈，導致內(nèi)心崩潰，形成惡性循環(huán)，久而久之，深感數(shù)學總是那么難、那么枯燥無味，從而失去信心和勇氣，更沒有頑強拼搏的精神。鑒于此，筆者邀請幾位同學就《合情推理與證明》中有關(guān)圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)的類比問題進行交流，旨在激發(fā)同學們的學習興趣，喚起學習數(shù)學的熱情，同時也引導大家關(guān)注課本、理解課本、用好課本。

生乙：要去掉B，C兩點。

眾生：Why？

生乙：因為三角形三個頂點不共線，因此點A不在直線BC上。

教師：很好！生乙的思維是很嚴謹?shù)摹Ｇ筌壽E方程，一定要注意檢驗，一點不能多，一點也不能少，這就是軌跡的純粹性和完備性。

生甲：如果要求的軌跡是雙曲線，怎樣變換題目條件呢？

教師：你問的很好！你們想一想：動點A的軌跡形狀是由什么因素控制的？

生乙：應(yīng)該是由斜率之積為常數(shù)所控制的，可以大膽猜想，當常數(shù)改為4/9時，軌跡方程就不是橢圓了，過程為：

教師：很好！你們解題之后一定要進行反思與回顧，生甲的質(zhì)疑很及時，引起大家進一步思考，這樣生乙又有發(fā)表自己見解的機會，我們也學到了更多的知識，

生丙：根據(jù)上述問題，可以歸納推廣為：

教師：猜想很好！有推理過程嗎？

當λA

當λ>O時，表示以A，B為實軸端點的雙曲線（去掉A，B兩點）。

生乙：不嚴謹，當λ=-l時，表示以A，B為直徑端點的圓（去掉A，B兩點）。最好還要討論當-1<λ

教師：生乙補充得很好！細致到位，這種嚴謹求實的習慣應(yīng)該堅持下去，同學們對這個問題還有什么想法嗎？

生丁：我想研究橢圓中逆命題，看看是否成立？

教師：你的逆命題是什么？你能證明嗎？

教師：正確！大家還有沒有新的想法？

生戊：由于A，B兩點是橢圓長軸端點，我提出新的猜想：A，B兩點關(guān)于原點對稱，斜率之積為定值。

教師：就請你將此猜想寫出來，并給出證明。

教師：正確！生戊利用點差法證明了一般的結(jié)論，你們還有什么想法？

證明方法如同生成的方法。

生庚：還可以推廣到一般的有心二次曲線，一般地：

若已知P1，P2是橢圓AX2+By2=l（A，B為不能同時為負數(shù)的常數(shù)且AB≠0）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是該橢圓上異于P1，P2的任意一點，則直線PP1和直線PP2的斜率之積為定值，即kpp1kpp2=-A/B。

證明方法如同生戊的方法。

教師：很好！生戊提出橢圓中的一般問題，而生己類比出雙曲線中的問題，生庚又給出了更一般的問題。這種質(zhì)疑就是有效的學習，實現(xiàn)了“由薄到厚”量的增加，再“由厚到薄”質(zhì)的飛躍，從而提高了自己的數(shù)學理解能力。

生甲：求解圓錐曲線綜合題時可以直接用這些結(jié)論嗎？

教師：這僅僅為你們提供了研究問題的思路，在具體解題時先證后用，就不會失分了。現(xiàn)在看一道例題：

已知橢圓x2/4+y2/2=l，過原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B。求證：PA⊥PB。

生乙：這題我證明過的，我是利用直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點坐標，再證明PA，PB的斜率之積為-l，從而得到結(jié)論。運算量很大，算到不想算的地步，但最后我還是堅持證明出來了。

生丙：我也是先求出交點，再利用向量法證明的，運算量確實很大！

生甲：我求出交點P，A的坐標后，再寫直線AB的方程，太煩瑣了，于是就放棄了。

生丁：我是利用設(shè)而不求與點差法，找出直線AB與直線PB斜率的關(guān)系式，再通過直線AC與直線AP的斜率的關(guān)系式，消去相關(guān)量，證明了kpB·kpA=-1。

教師：你們幾位都講出了自己的解題策略，也展現(xiàn)了自己的思維過程，這一點很好！你們有沒有發(fā)現(xiàn)生丁的證明過程中蘊含我們共同探討的結(jié)論？

教師：你抓到問題了的實質(zhì)，從而使得解題過程更加簡潔明了。因此同學們要學會先分析問題，再擬定解決問題的方案和解決問題的具體策略。

生己：我們要不要研究它的逆命題是否成立？

教師：你的想法很好！結(jié)論與哪一個條件交換呢？

生己：要想利用上述性質(zhì)，必須有PA關(guān)于原點對稱，因此，將“PC⊥x軸”與“PB⊥PA”交換可能會成功的。

教師：很好！請你寫出逆命題，并給出證明。

教師：很好！證明過程簡潔明了，推理嚴謹！

生乙：可以探究上述結(jié)論是否對所有橢圓都成立。

生庚：不是所有橢圓都成立，例如已知橢圓x2/9十y2/6=l，過原點的直線交橢同于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC并延長，交橢圓于點B.但PA與PB不垂直，看來不能。

教師：由于B點是由C點產(chǎn)生的，因此你們應(yīng)該探究點C在何處時，才能使FA⊥PB，于是應(yīng)該在線段PO上找一點Q，過Q點作x軸的垂線，垂足為C，你們試一試。

生庚：我猜想Q點是線段OP的中點，證明如下：

眾生：你是怎么猜出來的？

教師：生庚的探究方法是分析法，這是推理與證明的重要方法，許多問題都是先用分析法探索思路，再用綜合法書寫具體解題過程。這樣就得到命題：

生丙：對于橢圓x2/α2十y2/b2=l （α>b>O）滿足什么條件？過原點的直線交橢網(wǎng)于P，A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B，有PA⊥PB。

教師：你提出的問題很好！你會探究嗎？

生辛：根據(jù)生庚的思路，我探究出一般的結(jié)論：

眾生：太厲害了！

教師：很好！解題時往往要先猜后證。

生丁：前一段時間我做過一道題：

已知橢圓x2/4十y2=l，過原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中P在第一象限，過P點作x，軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點B.求證：P點恒在以AB為直徑的圓內(nèi)。

按照前面幾位同學的討論思路是否也可以推廣到一般情況？

教師：你可以大膽嘗試！

下面該怎么辦了？不會做了，請求援助！

教師：生戊的結(jié)論更具有一般性，上述的幾道題都是它的特例，對于不同的橢圓，點Q的位置各不相同，同時也揭示了由各動點之間的相互制約關(guān)系，于是為命題者提供了可靠的依據(jù)，所以同學們在平時的學習中，要勇于質(zhì)疑，不斷提出新的問題，探究出新結(jié)論，在探索的過程中要大膽猜想，小心證明，從而訓練自己的思維能力。