應(yīng)用題，過三關(guān)

余建國(guó)

不懂音樂理論仍可以唱歌，不學(xué)機(jī)械力學(xué)照樣可以獲得熟練的手藝與實(shí)驗(yàn)技能，但是為什么我懂?dāng)?shù)學(xué)卻不會(huì)解數(shù)學(xué)應(yīng)用題呢？這是很多面臨高考的同學(xué)在一次又一次模考時(shí)面對(duì)應(yīng)用題總是一頭霧水的感嘆.不要急，讀完本文，你就可以變成既懂樂理又會(huì)唱歌的歌手了.

一、起筆要過三道關(guān)

那么，應(yīng)用題的“樂理”在哪里呢？我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的是應(yīng)用，是解決問題.我們已習(xí)慣于解決滿是數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)的、純粹的數(shù)學(xué)習(xí)題，對(duì)那些來自生活實(shí)際的原型問題反而陌生了，而從原型到模型有一個(gè)識(shí)別理解、抽象概括的思維過程，最后從模型到數(shù)學(xué)模型還有一個(gè)加工過程——數(shù)學(xué)化.因此，為了順利解答高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題，考生必須過好三關(guān)，即心理關(guān)、閱讀關(guān)和建模關(guān).

“拿下應(yīng)用題你就雙腳踏進(jìn)大學(xué)門了”，老師這話一點(diǎn)不假.應(yīng)用題后面通常是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列兩個(gè)壓軸題，對(duì)中等生來說得分也不多了，所以老師主要是鼓勵(lì)你，想不到我們同學(xué)把這話當(dāng)負(fù)擔(dān)了.這心理關(guān)要過！實(shí)事求是地講，正如前面所述，考試中的應(yīng)用題只是將某個(gè)數(shù)學(xué)模型還原為原型，即用具有一定實(shí)際意義的情境包裝一下（此時(shí)，離真正的原型還是有距離的），考生要做的是拆開包裝、露出真容——讀懂題意，引入字母，抽象概括，建立模型.下面和同學(xué)們重點(diǎn)聊聊如何闖過閱讀關(guān)和建模關(guān).

正因?yàn)樾枰斑€原”，通常應(yīng)用題是字?jǐn)?shù)最多的考題，并且出現(xiàn)若干同學(xué)們不太熟悉、難于理解的“專業(yè)”術(shù)語(yǔ)，如下文例題中的“政府補(bǔ)貼”、“市場(chǎng)平衡價(jià)格”、“冷軋機(jī)”、“減薄率”等.顯然.應(yīng)用背景與我們的生活聯(lián)系越緊難度就小，反之難度大；閱讀量與難度成正比.所以，過好閱讀關(guān)需要耐心讀題，畫出“專業(yè)”術(shù)語(yǔ)，回憶自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)中與之相關(guān)的閱歷，將術(shù)語(yǔ)放到整個(gè)題目中去理解.一般來說，如果真的出現(xiàn)冷僻的術(shù)語(yǔ)，可能課本中出現(xiàn)過或者生活中見過，例如，“單利”、“復(fù)利”在數(shù)列學(xué)習(xí)中介紹過，又如菜場(chǎng)現(xiàn)場(chǎng)加工面條的機(jī)器就是簡(jiǎn)單的“冷軋機(jī)”.通過反復(fù)閱讀，揣摩題意，整體理解，判斷應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型類型，就可以進(jìn)入建模關(guān)了.

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)是符號(hào)化.符號(hào)語(yǔ)言的優(yōu)越性在于表達(dá)概念嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔，術(shù)語(yǔ)引入科學(xué)、自然，指意簡(jiǎn)明，書寫方便，大大縮短了語(yǔ)言表達(dá)的“長(zhǎng)度”，較容易揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性.符號(hào)語(yǔ)言有助于運(yùn)算，便于思考，式子將關(guān)系融于形式之中.教科書上各種數(shù)學(xué)公式的表述均采用符號(hào)語(yǔ)言.因此，通常在高考（代數(shù)方面）應(yīng)用題解決過程中，要么自己引入字母符號(hào)，也就是“設(shè)……為x，設(shè)……為y，設(shè)……為z，……”，建立這些字母間的等量或不等量關(guān)系，確立它們的允許取值范圍；要么理解題目中所給每一個(gè)字母的含義，尋找它們的取值范圍，建立新的等量或不等量關(guān)系.

二、以例說法話闖關(guān)

接下來舉例說明——以兩道經(jīng)典的高考應(yīng)用題為例.

例1 某地為促進(jìn)淡水魚養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展，將價(jià)格控制在適當(dāng)范圍內(nèi)，決定對(duì)淡水魚養(yǎng)殖提供政府補(bǔ)貼.設(shè)淡水魚的市場(chǎng)價(jià)格為x元/kg，政府補(bǔ)貼為t元/kg，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)8≤x≤14時(shí)，淡水魚的市場(chǎng)日供應(yīng)量P kg與市場(chǎng)日需求量Q kg近似地滿足關(guān)系：

（1）將市場(chǎng)平衡價(jià)格表示為政府補(bǔ)貼的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域；

（2）為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于10元/kg，政府補(bǔ)貼至少為每千克多少元？

【閱讀】經(jīng)濟(jì)常識(shí)（政治課上學(xué)過）告訴我們，當(dāng)日供應(yīng)量P>日需求量Q時(shí)，商品過剩，價(jià)格就會(huì)下降；反之，價(jià)格就會(huì)上升.政府通過價(jià)格補(bǔ)貼的方法間接控制日供應(yīng)量P和市場(chǎng)價(jià)格.“當(dāng)P=Q時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格”，等式P=Q中只有兩個(gè)字母x和t，這樣我們就找到了x和t的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系中的x不再是“市場(chǎng)價(jià)格”，而是“市場(chǎng)平衡價(jià)格”，按照（1）的要求，政府補(bǔ)貼t為自變量，市場(chǎng)平衡價(jià)格x是t的函數(shù).

“為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不高于10元/kg”，也就是說，不等式“x≤10”成立，求自變量t取值范圍.

例2 圖1為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖.冷軋機(jī)由若干對(duì)冷軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出.

（1）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度β，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過r₀.問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？

（2）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600cm.若第k對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為L(zhǎng)_k.為便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L₁，L₂，L₃并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）.

【閱讀】題目長(zhǎng)，慢慢讀.一遍不行再來一遍.冷軋機(jī)沒見過，但原理還是通俗易懂的，正如菜場(chǎng)現(xiàn)場(chǎng)面條加工，每次面皮寬度不變，只是一次又一次地將面皮壓薄（一下子壓薄到位，面皮會(huì)斷，更何況帶鋼）.軋鋼廠為了全自動(dòng)作業(yè)，一對(duì)軋輥軋（減薄）一次，n對(duì)軋輥連續(xù)工作，就完成了帶鋼由厚變薄的過程.

術(shù)語(yǔ)“減薄率”在題目中給出了解釋，其實(shí)跟“增長(zhǎng)率”意義是一樣的，只不過是大小關(guān)系前后相反.一般來說，專業(yè)術(shù)語(yǔ)“按規(guī)定做”，即題目中怎么定義，我們就這么表達(dá).原厚度為α，軋一次，由于每對(duì)軋輥的減薄率不超過r₀，即減掉的厚度不超過αr₀，剩余厚度不少于α-αr₀=α（1-r₀）.經(jīng)過n對(duì)軋輥連續(xù)工作后的厚度應(yīng)不少于α（1-r₀）ⁿ.從而建立不等式.

第（2）問有點(diǎn)嚇人.某對(duì)軋輥有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，經(jīng)過這對(duì)軋輥的帶鋼上就留下一連串的點(diǎn)——相鄰兩點(diǎn)間的距離都是這對(duì)軋輥周長(zhǎng).帶鋼再經(jīng)過下一對(duì)軋輥的擠壓，由于帶鋼相鄰兩點(diǎn)間的體積不變，且寬度不變，不計(jì)損耗，因而兩點(diǎn)間的距離就會(huì)變大.抓住體積不變性建立方程求解.我們回憶一下，物理實(shí)驗(yàn)室用的打點(diǎn)計(jì)時(shí)器是否也是類似的原理呢？打點(diǎn)的時(shí)間間隔不變，我們根據(jù)紙帶上相鄰兩點(diǎn)間的距離變大或變小，判斷小車運(yùn)動(dòng)速度的快慢.這樣想一想，既增強(qiáng)了解決應(yīng)用題的自信心，又類比出解決問題的原理——抓住不變性.

三、理解轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵

上面兩例在高考應(yīng)用題史上非常有名，尤其例2.之所以“有名”，主要是得分率太低，絕大部分同學(xué)被“軋鋼問題”“軋死”了，據(jù)統(tǒng)計(jì)平均得分才零點(diǎn)幾.除了消除對(duì)應(yīng)用題冗長(zhǎng)的敘述、不熟悉的情境、難于理解的術(shù)語(yǔ)等的恐懼外，考場(chǎng)上需要考生靜下心來，第一遍快速讀題，對(duì)整個(gè)問題了然于心；第二遍字斟句酌，理解每一個(gè)術(shù)語(yǔ)的含義，推敲它們之間的關(guān)系，弄清楚已知什么，求解什么；第三遍“問什么設(shè)什么”，引入字母，建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題（原型）向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.endprint