辯證的觀點，靈活的思維

徐建東

數學題中有已知有未知，解題的任務就是從已知探究未知.為此我們可以總結出一些行之有效的方法，比如繁化簡、難化易、多化少、不熟悉的化為熟悉的等等.但是繁與簡、難與易、多與少等不是絕對的而是相對的，如果能換一個角度或者從相反的角度看待它們，也許可以把這些矛盾置于合理的情境中實現更順利的轉化，這就是辯證的觀點.用辯證的觀點看問題，是提高思維靈活性的有效途徑.

一、多與少

常規來講，一元函數比二元函數簡單，但是下面的問題體現的就不是這樣.

說明 本題若從函數入手，運算量較大，考慮到已知x的范圍，把一元函數的問題化為二元函數后反而簡單了.這是因為后者能應用基本不等式，在這個更高級的工具下，它呈現出了新的面貌.

二、靜與動

一般動態的問題比靜態的問題復雜，特別是有兩個或兩個以上自由量的問題，就更難以處理.如果能把動態的問題轉化為靜態的問題，就可以達到“以靜制動”的目的，從而使問題變得容易掌控.相反，有些靜態的問題，如果讓它動起來，在運動的過程中反而能看清其本質.所以，在最值問題、范圍問題、恒大恒小（可大可小）問題中，不妨嘗試一下動與靜的轉化.

解 以AB所在直線為x軸，A為原點建立直角坐標系，如圖1，

表示的方法有兩種，一種是基底表示，另一種是坐標表示.不同表示形式導致不同的運算方式.上述兩道例題分別利用基底和坐標，本身就代表了兩種手段.對靜與動的轉化更是令人欣喜.

三、數與形

數與形的結合與轉化幾乎可以看作數學永恒的主題，解析幾何的巨大成功，卻又使我們認為用代數方法研究幾何問題是正途，而忽視借助圖形的幾何意義解題.其實數與形的轉化是相互的，彼此借力、相輔相成是應有之義.

因為橢圓截直線y=kx+3所得的弦長恰好被x軸平分，由橢圓對稱性知，

說明 本題若從直線與圓錐曲線的位置關系出發解方程組，將陷入大量的運算.而形的應用給它帶來了直觀，更容易啟發我們的思路.

四、正與反

對于難以從正面入手的數學問題，考慮問題的反面，探求已知與未知的關系，化難為易、化隱為顯.

解 這個問題的反面是三個集合全為空集，

說明 涉及“至多”、“至少”這類問題，從正面入手一般運算比較煩瑣，從反面入手更容易解決.

數學是一個有機的整體，各部分的知識、方法、思想都是相通的，如果能多加思考和總結，增強聯系與變化的觀點，辯證地對待普遍的和特殊的矛盾，就會大大增加我們的靈活性.endprint