理解運算含義，提高運算能力

王成杰

不少同學平時在數學解題中不明算理、機械套用運算公式，不顧運算目標，盲目地進行推理演算，運算過程中缺乏選擇合理、簡捷的運算途徑的意識，運算過程繁瑣，錯誤率高，誤以為是“馬虎”、“粗心”造成運算錯誤，平時解題認為“只要方法對，做錯了不要緊”.以上問題的根本原因是對運算能力的內涵缺乏科學認識.

一、什么是運算求解能力

數學能力是一種穩定的個性心理特征，是數學素質在數學活動中的外化.高考對運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件與目標尋找與設計合理簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算.

1.高中階段常見運算形式

（1）數的運算（含復數運算）；

（2）代數式的運算（法則、運算律）；

（3）冪、指數、對數（函數）運算；

（4）三角（函數）運算；

（5）向量運算；

（6）導數運算；

（7）方程與不等式運算（強調算法）；

（8）抽象運算.

幾何量的運算一般可歸結為以上運算.

2.運算的方法與技能

（1）記住數學計算公式、法則，并能準確地運用公式和法則進行運算；

（2）應用概念、性質、定理進行有關的運算；

（3）在進行各種運算時，結果準確、速度迅速、過程合理；

（4）進行各種查表和使用計算器計算（高考不考查）.

3.運算的邏輯思維要求

（1）合理使用公式、法則；

（2）運算方法和過程較為簡捷；

（3）對自己的運算結果進行檢查驗算和判斷；

（4）自我改正運算中的各類錯誤；

（5）簡化運算過程，運用簡縮思維、整體思維進行“跳步”運算；

（6）較熟練地進行心算、速算、估算；

（7）會進行推理計算；

（8）熟練運用數學思想方法優化運算.

二、培養運算求解能力

發展運算能力的大致過程是：知識→技能→能力；相應的要求分別是：懂知識、會技能、能變通.

1.建構完善系統的知識體系

準確理解有關知識，定義、概念理解準確無誤，對于考試說明中的簡單的知識點要能直接使用，對于較復雜的知識點要弄清概念的發生、概括形成過程，主要公式、定理要掌握其發現、推導過程，還要掌握它們的各種等價變形，如余弦定理的推導過程與常見的恒等變形：

2.熟練掌握有關運算的算理、方法、步驟

模仿操作階段，運算步驟不宜跳躍，每一步運算的算理必須明確、清晰，算法和運算過程的表述必須規范、條理，經過一定量的、有層次的、按部就班的訓練后，逐漸簡化運算步驟，靈活運用運算法則、公式.在運算求解過程中，同學們要能夠自覺地認識運算的目的性，準確判斷運算方向，合理選擇運算途徑，規范表述運算過程和結果，從而由懂到會，由會到對，由對到熟，由熟到變，由變到通，避免“會而不對，對而不全”的運算錯誤.

3.理解數學思想，掌握通性通法

在熟練掌握運算求解的算理、算法及運算技能的基礎上，弄清其隱含的數學思想方法，并以數學思想方法促進運算技能向能力過渡.一方面，合理使用數學思想方法可以簡化運算，提高速度，如數形結合可以借助圖形直觀簡化運算量，等價轉化可以將復雜的運算轉化為簡單的運算，分類、整合可以化整為零、分解難點、優化策略；另一方面，數學思想方法是使基本運算技能內化為思維能力的紐帶，在具體運算求解過程中還要注重充分運用通性通法——同類問題的一般方法.

4.加強審題訓練，發現運算目標

同學們在審題時要深入理解、細致分析問題的條件、結論以及條件與結論間的聯系，尤其是如何發現問題中的隱含條件，要確立結論就是解題目標，不忘解題目標的意識，及早確定運算目標，并在運算求解過程中根據目標及時調整運算方向.

5.重視驗算反思，提升運算能力

在解題過程中，要學會驗算、減少失誤，可采用以下方法：

復考查對——草稿紙上每算一題畫上邊框，便于檢驗.

代值檢驗——選取邊界值和特殊值驗算.

多解對照——通法求解巧法對照.

逆向運算——順向解答逆向回代.

觀測估算——離心率的范圍、三角函數有界性.

量綱檢查——長度是一次函數、面積是二次函數、體積是三次函數.

特值檢驗——例如直線斜率不存在時，等比數列公比為1時.

條件檢驗——條件是否用足，尤其是隱含條件是否發現并運用.

邏輯檢驗——運算復雜的問題通過邏輯推理可能輕松解決.

圖形檢驗——代數方法幾何檢驗.

解題后檢驗發現問題必須不斷糾錯、訂正到位，訂正可分為老師評講前自我糾正、老師評講中對比訂正、老師評講后二次訂正，解題后更要總結反思：此題運用了哪些知識和方法，題中有哪些條件，尤其是否存在隱含條件，本題的算理是否清晰，算法是否簡捷，運算過程是否跳步，還有更好的解法嗎？失分的原因到底是什么？

6.重視簡化運算，提高求解能力

運算求解能力是其他數學能力的基礎，簡化運算是提高求解能力的重要環節.

（1）熟記一些常見的運算結論和推理結果有利于尋找解題思路，簡化運算過程，提高運算結果的準確性，如四面體的體積公式，常見勾股數，20以內的自然數的平方，圓錐曲線的焦半徑公式，圓錐曲線的第二、第三定義，和差化積與積化和差公式等.

（2）在解析幾何解題運算中，正確運用簡化運算的基本方法，如：恰當建系、巧妙設元、回歸定義、設而不求、數形結合、整體代換、數式化簡、特殊引路、特征分析（定量、定性）、直覺判斷、合情推理……

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設直線PA的斜率為k₁，直線MA的斜率為k₂，求k₁·k₂的取值范圍.

分析 本題中求解斜率k₁，k₂的表達式是關鍵，用參數表示斜率通常有以下幾種方法：

其中方法①～③均需解出P點坐標，因而運算量較大，在方法④中，可通過設而不求、邊化簡邊運算、數形結合等方法簡化運算.endprint