思維的語言 表達(dá)的工具*
——“集合與常用邏輯用語、復(fù)數(shù)”高考復(fù)習(xí)專題

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(臺州市第一中學(xué),浙江 臺州 318000)

1 考點回顧

1.1 集合、常用邏輯用語

集合、常用邏輯用語是高中數(shù)學(xué)的基本語言，是數(shù)學(xué)表達(dá)與交流的工具，是數(shù)學(xué)思維的語言．《課標(biāo)》要求學(xué)生能夠使用集合的語言或常用邏輯用語簡潔準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)對象，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理，提升抽象能力，提升交流的邏輯性與準(zhǔn)確性，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展．顯然它們是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)也是必考的內(nèi)容之一，命題的特點還是以直接、基礎(chǔ)、單一、穩(wěn)定為主．

集合內(nèi)容的考查要點及應(yīng)對策略：1)集合的表示：研究一個集合，首先要注意元素的含義；2)集合間的關(guān)系：關(guān)鍵是將兩個集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素之間的關(guān)系；3)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算：這類問題一般會結(jié)合方程、不等式、函數(shù)或其他一些數(shù)學(xué)知識，處理集合之間的關(guān)系以及集合運(yùn)算問題要重視運(yùn)用數(shù)軸與韋恩圖幫助解決問題，重視分類思想與數(shù)形結(jié)合思想；4)以集合知識為平臺，綜合高中數(shù)學(xué)其他知識、形式上有所創(chuàng)新的問題：突出體現(xiàn)集合是數(shù)學(xué)語言與工具的特征，有一定的思維性與思想性，需要較好的分析問題、解決問題的能力和轉(zhuǎn)化化歸的能力.

常用邏輯用語的考查要點及應(yīng)對策略：1)4種命題及其關(guān)系：特別要注意區(qū)別否命題與命題的否定，互為逆否命題等價性的運(yùn)用(反證法)；2)充分條件與必要條件：常作為載體考查其他知識與方法，是高考的重點內(nèi)容之一，解決此類問題的主要方法有定義法與集合法.常用邏輯用語還常作為簡化解題過程的基本思想和策略.

集合與常用邏輯用語這兩部分知識的工具性與基礎(chǔ)性，決定了它們應(yīng)用的廣泛性，學(xué)習(xí)掌握這兩部分內(nèi)容的關(guān)鍵是善于運(yùn)用集合的語言理解數(shù)學(xué)問題、善于運(yùn)用邏輯的語言表達(dá)數(shù)學(xué)思維.

1.2 復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)內(nèi)容的考查要點及應(yīng)對策略：1)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)的實部與虛部、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù))：關(guān)鍵是認(rèn)清實部與虛部，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題處理；2)復(fù)數(shù)的幾何意義：注意實部與虛部在坐標(biāo)平面上的幾何意義；3)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：類比多項式運(yùn)算，重視除法的運(yùn)算規(guī)則.由于復(fù)數(shù)內(nèi)容的考查一般只有一個考題，因此經(jīng)常出現(xiàn)復(fù)數(shù)的概念、幾何意義和四則運(yùn)算融合在一起的綜合性問題.

2 典題剖析

A.(1,2) B.(1,2]

C.(-2,1) D.[-2,1)

(2017年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第1題)

圖1

分析函數(shù)的定義域是一個數(shù)的集合.由4-x2≥0可求得-2≤x≤2；由1-x>0可求得x<1，如圖1，可利用數(shù)軸求得：

A∩B= {x|-2≤x≤2}∩{x|x<1}=

{x|-2≤x<1}.

故選D.

評注本題主要考查運(yùn)用集合語言表示函數(shù)的定義域、運(yùn)用數(shù)軸處理集合的運(yùn)算、用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)對象以及集合運(yùn)算，這是高中數(shù)學(xué)雙基中的基礎(chǔ)知識和高考必考知識點之一.這類問題經(jīng)常與求函數(shù)定義域、值域、解不等式等知識相結(jié)合，一般需將所給集合化簡后再計算，計算過程常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

例2設(shè)A,B是有限集，定義：d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素個數(shù)，命題①：對任意有限集A，B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件；命題②：對任意有限集A,B,C，有d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)，則 ( )

A．命題①和命題②都成立

B．命題①和命題②都不成立

C．命題①成立，命題②不成立

D．命題①不成立，命題②成立

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

分析根據(jù)題目中的定義，對于命題①，借助韋恩圖我們知道:card(A∪B)≥card(A∩B)當(dāng)且僅當(dāng)A=B時等號成立，因此命題①成立.

對于命題②，因為

d(A,C)= card(A∪C)-card(A∩C)=

card(A)+card(C)-2card(A∩C)，

d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)-card(A∩B)+

card(B∪C)-card(B∩C)=

card(A)+card(B)-2card(A∩B)+

card(B)+card(C)-2card(B∩C)=

card(A)+2card(B)+card(C)-

2card(A∩B)-2card(B∩C),

又d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)，所以

card(A∩C)≥card(A∩B)+card(B∩C)-card(B),

借助韋恩圖，上式顯然成立.

評注本題取材于人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》的“閱讀與思考”，并以此為背景利用新定義構(gòu)建的新問題，有創(chuàng)新性，也有一定的難度.解決此問題的關(guān)鍵是理解題意并善于借用韋恩圖(也可利用容斥原理)等工具來分析問題解決問題.

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件

(2017年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題第4題)

評注本題屬于充要條件的判斷問題，是充分條件與必要條件知識考查的主要方式.從集合的角度看，若A?B，則A是B的充分條件;若B?A，則A是B的必要條件;若A=B，則A是B的充要條件;若A是B的真子集，則A是B的充分非必要條件;若B是A的真子集，則A是B的必要非充分條件．

圖2

分析點P是橢圓上的點，該問題要證明的結(jié)論是直線l與橢圓相切.先求出直線方程，然后將其與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元可得一元二次方程，利用判別式Δ=0可以證明，但運(yùn)算量大且易算錯.

而

矛盾.故假設(shè)錯誤，即l與橢圓只有唯一的公共點.

評注反證法是“正難則反”轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，反證法是從結(jié)論的反面出發(fā)來考慮的，實際上是證明原命題的逆否命題.它的一般步驟是：1)否定結(jié)論；2)推證矛盾；3)肯定原命題成立.適宜反證法證明的命題，經(jīng)常在語句中帶有一些特征詞，如至少、至多、唯一等.

例5已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(其中i是虛數(shù)單位)，則a2+b2=______，ab=______．

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

分析由題意可得a2-b2+2abi=3+4i，則

解得

故

a2+b2=5,ab=2.

評注本題重點考查復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.首先要切實掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的規(guī)則，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部、虛部、模、共軛復(fù)數(shù)等．

例6已知z=(m+3)+(m-1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是 ( )

A.(-3,1) B.(-1,3)

C.(1,+∞) D.(-∞,-3)

(2016年全國數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)Ⅱ理科試題第1題)

分析要使復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，則z的實部與虛部必須滿足

從而-3

評注本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義.復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)數(shù)內(nèi)容的重要知識點，是高考常考的考點之一.

3 精題集萃

1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，則集合A∩CUB( )

A.{2,5} B.{3,6}

C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}

2．設(shè)M,P是兩個非空集合，定義M與P的差集為：M-P={x|x∈M,且x?P}，則M-(M-P)= ( )

A．PB．M∩PC．M∪PD．M

3．設(shè)z1，z2∈C，則“z1,z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“z1-z2是虛數(shù)”的 ( )

A．充分非必要條件 B．必要非充分條件

C．充要條件 D．既非充分又非必要條件

4.設(shè)z是復(fù)數(shù)，|z-i|≤2(其中i是虛數(shù)單位)，則|z|的最大值是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0，l2:x+ay+2=0,則“l(fā)1∥l2”是“a=-1”的 ( )

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件

6．已知向量a,b為非零向量，則“(xa+yb)⊥(2ya-xb)對任意非零實數(shù)x，y都成立”是“a⊥b”的 ( )

A．充分非必要條件 B．必要非充分條件

C．充要條件 D．既非充分又非必要條件

7.設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α,則“m∥β”是“α∥β”的 ( )

A．充分非必要條件 B．必要非充分條件

C．充分必要條件 D．既非充分也非必要條件

A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件

C．p是q的充分必要條件

D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

9．下列說法正確的是 ( )

A．“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a>1,則a2≤1”

B．{an}為等比數(shù)列，則“a1

C．若a,b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分非必要條件

11.設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集，若對任意x,y∈S，都有x+y,x-y,xy∈S,則稱S為封閉集，下列命題：

①集合S={a+bi|其中a,b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；

②若S為封閉集，則一定有0∈S；

③封閉集一定是無限集；

④若S為封閉集，則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集.

其中的真命題是______(寫出所有真命題的序號).

參考答案

1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.A 7.B

8.A 9.D 10.1 11.①②