淺談圓的性質在解析幾何中的應用*

●

(云和中學,浙江 云和 323600)

1 問題提出

圓是高考必考的知識點之一，有關圓的定義、性質及方程等在高考試題中常有涉及.有的試題是“顯性”呈現的，求解難度不大；有的試題則是“隱性”的，需要通過挖掘題中隱含的信息，進而將其轉化為與圓相關的問題[1].這類試題如果按照常規思路，往往運算繁瑣，以致于難以求解，若能轉化為與圓相關的問題，再借助相關性質求解，則柳暗花明，尤其是在求解解析幾何問題時更是如此.

2 巧用性質，“圓”來如此

初高中以來，學生對圓的定義、性質及方程等進行了系統學習，具備了一定的應用能力.下面筆者具體闡述在求解解析幾何問題時，如何將其與圓建立聯系，進而利用圓的性質解決.

2.1 垂直位置關系的轉化

此題從代數角度運算較為復雜.由于條件具有垂直關系，可以考慮構造輔助圓來求解.

圖1

分析如圖1，取N(5c,0)，聯結PN，得

從而

NP∥F2M.

因為PO⊥F2M,所以

PO⊥NP,

點評“直徑所對的圓周角是直角，反之，直角三角形直角頂點在以斜邊為直徑的圓上”,借助圓的這一性質，可將垂直關系和圓建立聯系，如例1中通過構造出新的垂直關系后再轉化為圓求解，大大簡化了計算量.

2.2 “弦長”乘積關系的轉化

圖2

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省數學高考試題第21題)

若利用弦長公式求解，則運算復雜.考慮到AQ⊥BQ，點Q在以AB為直徑的圓上運動，結合問題要求線段長度乘積，故可考慮利用圓冪定理求解.

分析如圖3，作△ABQ的外接圓，記AB的中點為圓心R，直線PR與圓交于點M,N，由圓冪定理得

|PA|·|PQ|= |PM|·|PN|=

(r+|PR|)(r-|PR|).

圖3 圖4

點評圓冪定理又稱相交弦定理，由于初中階段對這一內容要求不高，因此很多學生想不到用這一性質求解例2.建議教學中可以適當補充它的應用，有利于拓寬學生的解題思路.另外，也可以借助數量積的幾何意義和極化恒等式，再利用圓的性質求解：

2-|RP|2,

2.3 角度大小關系的轉化

圖5

|EF|=2|MN|=2(|MC|+2)，

易知|MC|的最小值為點C到直線l的距離，從而

于是

點評頂點為動點的角度問題，借助同弧(或弦)所對圓周角相等的性質，可以發現角的頂點的軌跡和某圓有關系(圓上、圓內或圓外)，且該圓經過角的另外兩個點.借助這種思路，可以發現以下結論：

結論1已知點E，F在⊙C外，點P在⊙C上運動，設⊙M經過點E，F，則有：如圖6，當點P位于⊙M與⊙C的切點A處時，∠EPF最大；如圖7，當點P位于⊙M與⊙C的外切點B處時，∠EPF最小.

圖6 圖7

圖8

2.4 面積最值關系的轉化

常規思路是將直線l與橢圓聯立、消元，再借助公式求出弦長|AC|及點O,B到直線l的距離，進而表示出四邊形OABC的面積來求解，但代數運算量較大.

1)若點A,B,C共線，則點A′,B′,C′仍共線，且變換前后對應線段長的比值不變；

借助伸縮變換及以上性質，例4可以求解如下：

圖9

分析如圖9，利用伸縮變換

x′2+y′2=1，

即四邊形OABC面積的最小值為3.

點評借助伸縮變換，將橢圓問題轉化到圓中求解，再結合圓的對稱性及垂徑定理，可以大大簡化計算.在教學中，也可以利用伸縮變換T的逆變換T-1，借助圓中一些已有的性質來發現橢圓新的性質，實現橢圓知識和圓的知識類比學習.這種用聯系的觀點學習數學，可以使孤立的知識點統一起來，對學生構建知識網絡、提升數學思維有著重要意義.

3 問題反思

圓作為一種基本平面圖形，其定義、性質及方程在解析幾何中應用廣泛.很多問題看似與圓無關，但如果深入尋找，往往能發現“隱性”圓的存在，進而轉化為與圓相關的問題，再運用圓的性質求解，這正是化歸思想在高中數學解題中的應用.

引導學生將圓化“隱”為“顯”，一方面能提高學生的解題能力，特別是解析幾何問題用常規思路往往運算繁瑣，而化圓求解，可以大大簡化運算；另一方面，可以實現不同知識點的融會貫通，有利于知識體系建構，鍛煉學生的化歸能力.

[1] 吳定業.化“隱”為“顯”，“圓”來完“美”[J].上海中學數學，2017(7):6-7.

[2] 鐘順榮.利用伸縮變換求解直線與橢圓相切問題初探[J].中學教研(數學)，2015(3)：16-18.