全國卷高考命題中的一個熱點問題*

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(南頭中學,廣東 深圳 518052)

題目利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖像直觀驗證：ex>1+x,其中x≠0.

(人教A版《數學(選修2-2)》第32頁習題1.3B組第1題第3)小題)

這個不等式的證明很容易，只需構造函數

f(x)=ex-x-1(其中x∈R)，

由f′(x)=ex-1知：當x>0時，f′(x)>0；當x<0時，f′(x)<0，故當x=0時，f(x)min=f(0)=0，即當x∈R時，f(x)≥f(0)，即ex-x-1≥0，亦即ex≥x+1(當且僅當x=0時,等號成立).

1 不等式ex>1+x(其中x≠0)的背景與演繹

本題的背景是泰勒展開式.泰勒公式得名于英國數學家布魯克·泰勒,他主要以泰勒公式和泰勒級數出名，他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式.

泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式,是用若干項(無限或者有限)連加式(級數)來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得.

對于函數f(x)=ex，它在x=0處的泰勒展開式如下：

上式也叫ex的麥克勞林展開式.當0

(3)

綜合式(2)和式(3)，便得

(4)

注意上述式(1)和式(2)均是在0

事實上，不等式(1)可以加強為如下兩個不等式

ex≥1+x(其中x∈R),(5)

(6)

式(4)可以加強為

(其中x>-1),(7)

當且僅當x=0時，式(5)～(7)中的等號成立.

不等式(5)和不等式(6)的幾何解釋如圖1所示，不等式(7)的幾何解釋如圖2所示[1-2].

圖1 圖2

不等式ex>1+x(其中x≠0)的深刻內涵和重要作用，可以通過圖3中的演繹變換中窺見一斑[3].

圖3

2 不等式ex≥1+x(當且僅當x=0時，等號成立)演繹高考題

方法1變形.

由不等式(5),知ex-1≥x恒成立，若ex-1≥ax對于x≥0恒成立，則a≤1，于是當x≥0時，x(ex-1-ax)≥0恒成立，故a≤1.

據此，可編擬2010年全國數學高考課標卷Ⅰ文科第21題第2)小題：

例1設函數f(x)=x(ex-1)-ax2，若當x≥0時,f(x)≥0，求a的取值范圍.

方法2替換、變形.

在不等式ex≥1+x中，作替換x→-x，可得

e-x≥1-x，

即

(1-x)ex≤1,

上式兩邊同時乘以1+x(其中x≥0)，可得

(1-x2)ex≤1+x.

可見，當x≥0時，(1-x2)ex≤ax+1恒成立，則

ax+1≥x+1，

即a≥1.

據此，可編擬2017年全國數學高考卷Ⅱ文科第21題第2)小題：

例2已知函數f(x)=(1-x2)ex，當x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

方法3取倒數、變形.

當x>-1時，由ex≥1+x>0，兩邊取倒數可得

從而

即

據此，可編擬2010年全國數學高考大綱卷Ⅱ理科第22題第1)小題：

方法4演繹、變換.

由于ex≥1+x(其中x∈R)(當且僅當x=0時,等號成立)，若令x>0，作替換x→x-1得ex-1≥x,即ex≥ex,則兩邊取倒數，可得

(8)

當且僅當x=1時,等號成立.進一步由ex-1≥x,兩邊取倒數，得

(9)

上式兩邊取以e為底的對數,得

據此，可編擬2014年全國數學高考卷Ⅰ理科第21題：

1)求a,b；

2)證明：f(x)>1.

注1由第1)小題知a=1,b=2，從而

CMV感染是艾滋病患者最常見的皰疹病毒感染，可分為CMV血癥和器官受累的CMV病。CMV可侵犯患者多個器官系統，包括眼睛、肺、消化系統、中樞神經系統等，其中CMV視網膜脈絡膜炎是艾滋病患者最常見的CMV感染。

注2由本題改編的問題還有2015年全國高中數學聯賽陜西省預賽題第二試第5題：

例5已知函數f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,其中a∈R.

3 不等式ln(x+1)-1)演繹高考題

方法1直接引用.

不等式ln(1+x)≤x表明,函數不等式f(x)=ln(1+x)-x≤0恒成立(當且僅當x=0時，等號成立).

據此，可編擬2004年全國數學高考卷Ⅱ理科第22題第1)小題：

例6已知函數f(x)=ln(1+x)-x，求函數f(x)的最大值.

方法2賦值、累加.

一方面，

即

另一方面，當n≥3時，

綜上所述，當n≥3時,

據此，可編擬2017年全國數學高考卷Ⅲ理科第21第2)小題:

方法3嵌入系數.

由式(7)，可知ln(1+x)≤x(其中x>-1)，于是

lnx≤x-1(其中x>0)，

據此，可編擬2017年全國數學高考卷Ⅲ理科第21題第1)小題:

例8已知函數f(x)=x-1-alnx，若f(x)≥0，求a的值.

4 不等式演繹高考題

方法1替換、變形.

據此，可編擬2016年全國數學高考卷Ⅲ文科第21題第2)小題:

方法2變形、傳遞.

一方面，由式(1)知

ex≥1+x(其中x∈R),

由式(6)知

從而

x+1≥ln(x+2),

于是 ex≥1+x≥ln(x+2).

(11)

在式(11)中，當x=0時，ex≥1+x取到等號；當x=-1時，1+x≥ln(x+2)等號成立，因此

ex>ln(x+2)，

即

ex-ln(x+2)>0.

另一方面，已知當m≤2時，

ln(x+2)≥ln(x+m)，

故當m≤2時,

ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)>0.

據此,可編擬2013年全國數學高考卷Ⅱ理科第21題第2)小題：

例10已知函數f(x)=ex-ln(x+m)，求證：當m≤2時，f(x)>0.

方法3變形、嵌入.

據此，可編擬2006年全國數學高考卷Ⅱ理科第20題:

例11設函數f(x)=(1+x)ln(1+x)，若對所有的x≥0都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍.

方法4綜合、演繹.

(其中x>0)，(12)

當且僅當x=1時，等號成立.

在不等式(12)中，先分別乘以x+1，得

再分別加上1-x，得

(13)

令f(x)=(x+1)lnx-x+1.一方面，由不等式(13)知

當且僅當x=1時,等號成立.若x≥1，則

若0

注意到當x>0時，

從而

(x-1)f(x)≥0.

另一方面，由不等式(12)得

lnx-x≤-1，

即lnx-x的最大值為-1.若假定lnx-x-a≤0恒成立，則

a≥(lnx-x)max=-1.

由lnx-x-a≤0,得

x(lnx-x-a)≤0，

即

xlnx≤x2+ax,

從而

xlnx+1≤x2+ax+1.

注意到xlnx+1=xf′(x)，因此，若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立，則a≥-1.

據此，可編擬2010年全國數學高考卷Ⅰ理科第20題：

例12已知函數f(x)=(x+1)lnx-x+1.

1)若xf′(x)≤x2+ax+1，求a的取值范圍；

2)證明：(x-1)f(x)≥0.

[1] 方亞斌.用ex的冪級數展開式編演繹高考題[J].數學通訊，2012(2):50-53.

[2] 方亞斌.源于世界數學名題的高考題賞析[M].杭州：浙江大學出版社,2017.

[3] 方亞斌.源于課本的高考題數學題賞析[M].杭州：浙江大學出版社,2017.