數(shù)學“三勢能”讓思維轉(zhuǎn)換更自然*

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(蕭山區(qū)第六高級中學,浙江 杭州 311261)

1 緣起

匈牙利數(shù)學家路莎·彼得所說：“數(shù)學家們解題往往不是對問題進行正面攻擊，而是將它不斷變形，而是把它們變?yōu)槟軌虻玫浇鉀Q的問題.”我們在學習過程中，經(jīng)常會碰到不同的教學思路、不同的解題方法、不同的視角去解決同一個問題.不同的視角之間的思維轉(zhuǎn)換如何才能實現(xiàn)？怎樣才能更加自然？如何提高學生思維轉(zhuǎn)換的主動性？這些都是我們值得研究的課題.

2 操作與實踐

勢能是儲存于一個系統(tǒng)內(nèi)的能量，也可以釋放或者轉(zhuǎn)化為其他形式的能量.雖然這是一個物理學上的概念，但數(shù)學本身就是一個龐大、復雜的系統(tǒng)，因此我們可以認為數(shù)學內(nèi)部具有巨大的勢能，通過一定方式將其能量釋放出來就能為數(shù)學的發(fā)展做出貢獻.高中數(shù)學也可以充分利用此類“勢能”進行思維轉(zhuǎn)換，筆者根據(jù)自己的實踐把它分為順勢、造勢、蓄勢.

2.1 思維轉(zhuǎn)換之順勢轉(zhuǎn)換

任何新事物產(chǎn)生之前，必定會有一些萌芽.解題也是如此，首先要分析條件與目標，仔細閱讀題目的各個主要部分，依次對它們進行考慮.目標的內(nèi)容是什么，會涉及哪些相關(guān)知識與方法；條件與目標呈現(xiàn)的是怎樣的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)，與已經(jīng)學過的知識是否存在直接的聯(lián)系或類似性.這些都是題目中所蘊含的勢能，我們要順著這些勢能實現(xiàn)思維轉(zhuǎn)換.

因此所謂順勢就是通過目標指引、結(jié)構(gòu)分析等手段把問題化歸到學生所熟悉的知識或方法，也就是接近學生的最近發(fā)展區(qū).據(jù)此筆者把它分為順目標之勢與順結(jié)構(gòu)之勢.

1)順目標之勢.

目標原則是思維轉(zhuǎn)換的基本原則之一，其作用就是指引.方向可以是條件到結(jié)論，也可以從結(jié)論到條件，本質(zhì)就是已知與未知的互化.

案例1解三角形一例.

轉(zhuǎn)化1將條件轉(zhuǎn)化為

但與利用余弦定理求cosA有差異.

轉(zhuǎn)化2不放棄，將余弦定理代入式(1)化簡得

(2)

此式形式已達最簡，但離目標sinA或cosA較遠.

此時有學生提出由式(1)和式(2)結(jié)合余弦定理與平方關(guān)系聯(lián)立可以解出b,c,sinA,cosA.想法不錯，充分利用了方程的思想，但耗時耗力.

轉(zhuǎn)化3此時需要另辟蹊徑,回頭檢查并沒發(fā)現(xiàn)問題，觀察式(2)得

即

點評此題實際上是以前解三角形問題中求周長最值(或面積)問題的延伸.如已知△ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，A=60°,a=2,求周長(或b+c)的最大值.利用余弦定理結(jié)合基本不等式可解決.

反思此題結(jié)構(gòu)簡單卻不能直接到達目標，雖說聯(lián)立方程可行卻難以操作，此時題目的難點就像爬山即將到達山頂一樣，只要一陣涼風吹來并想想目標所在即可順勢而下突破難點.

2)順結(jié)構(gòu)之勢.

著名的布爾巴基學派的基本指導思想就是結(jié)構(gòu)主義，他們認為全部數(shù)學基于3種結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu).高中數(shù)學學習，特別是思維的轉(zhuǎn)換自然離不開對結(jié)構(gòu)的分析.無論是實際問題或情景的結(jié)構(gòu)，還是抽象的數(shù)學問題的結(jié)構(gòu)，要實現(xiàn)條件與目標的相互轉(zhuǎn)換都需分析其本質(zhì)結(jié)構(gòu).可按識別結(jié)構(gòu)、再進行聯(lián)想結(jié)構(gòu)、轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的步驟進行.

案例2函數(shù)單調(diào)性定義運用.

A.(-∞,0) B.(-∞,1)

C.(-1,0)∪(0,3) D.(-∞,0)∪(0,1)

此題乍一看無從下手，聯(lián)想單調(diào)性定義就可以依據(jù)其結(jié)構(gòu)進行逐步轉(zhuǎn)化.

條件轉(zhuǎn)化1)聯(lián)想函數(shù)單調(diào)性定義：變形為

2)聯(lián)想分式不等式解法：函數(shù)g(x)=f(x)+x在R上單調(diào)遞增.

目標轉(zhuǎn)化結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換1：換元,令t=log2|3x-1|，則不等式可化為f(t)<2-t；

結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換2：變形,再化為g(t)

結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換3：求解,由條件轉(zhuǎn)換2可知t<1,即log2|3x-1|<1,求得x<1.

點評單調(diào)性定義常考常變，因此有必要對定義的結(jié)構(gòu)進行適當變形以加深概念的理解運用和知識模塊之間的相互聯(lián)系.

反思抓住數(shù)學概念的代數(shù)結(jié)構(gòu)或幾何結(jié)構(gòu)有助于認識數(shù)學概念的本質(zhì)，從而把繁難問題簡單化、陌生問題熟悉化.

2.2 思維轉(zhuǎn)換之造勢轉(zhuǎn)換

數(shù)學上的概念、方法是歷史上經(jīng)歷了多年的沉積才形成的，如果直接把它放到學生面前，學生對它是陌生的，就算勉強接受也是被動的，不具有深刻性和持續(xù)性.很多數(shù)學知識高高在上，處在高位運行態(tài)勢，勢能強大卻無法落地.我們有必要對概念的形成、定理的推導、方法的產(chǎn)生進行適當鋪墊，營造思維轉(zhuǎn)換的氛圍.

因此筆者認為造勢就是通過數(shù)學史融入教學、挖掘?qū)W生的最近發(fā)展區(qū)、采用多媒體或網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等多種方式讓知識從高位勢能轉(zhuǎn)換為低位勢能，從而實現(xiàn)思維的自然轉(zhuǎn)換.

在教學中經(jīng)常會遇到突兀性問題，如兩角差的余弦公式，由三角函數(shù)線方法突然轉(zhuǎn)到向量方法讓人恍惚.針對這一轉(zhuǎn)換可進行適當?shù)脑靹菀詫崿F(xiàn)思維的自然轉(zhuǎn)換.譬如：1)從教材的分布來講，為什么第一章“三角函數(shù)”與第三章“三角恒等變換”之間會插入第二章“平面向量”，這不就是在誘導我們使用向量方法來解決三角問題嗎？2)從已產(chǎn)生的公式結(jié)構(gòu)來看，cosαcosβ+sinαsinβ就是x1x2+y1y2，即數(shù)量積的坐標形式.如此造勢即可完成三角方法與向量方法之間的自然轉(zhuǎn)換，此類問題在方法教學與解題教學中經(jīng)常出現(xiàn)，下面再以錯位相減法為例說明造勢轉(zhuǎn)換.

案例3錯位相減法.

錯位相減法是數(shù)列求和中的常用方法之一，但面對通項是等差乘等比的情形,很多學生到高三仍舊想不到此方法，這是為何？

回看教材的推導過程

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,(3)

我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘以式(3)的兩邊，可得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,(4)

兩式相減可得……

就此我們發(fā)現(xiàn)“用公比q乘式(3)的兩邊”這一步來得太過突然，這樣雖然解決了等比求和公式的推導問題，但學生思維的轉(zhuǎn)換還是存在障礙的，因此有必要對思維轉(zhuǎn)換進行造勢.下面是筆者總結(jié)的兩種造勢方式.

造勢1依方法造勢[1].

師：常見的求和方法有哪些？

生：倒序相加、裂項相消、錯位相減等.

師：倒序相加法用來求什么數(shù)列的和？

生：等差數(shù)列.

師：能具體描述一下嗎？

生：式(3)倒過來寫Sn=an+an-1+…+a1.結(jié)合性質(zhì)a1+an=a2+an-1=…，可得等差數(shù)列求和公式.

師：倒序相加的目的是什么？

生：減少項數(shù)得到一個簡潔的公式.

師：我們再看裂項相消法，能舉一個例子說明嗎？怎么解答？

師：由此看出裂項的目的是什么？

生：相消即減少了項數(shù).

師：兩種求和方法的共同目的是什么？

生:減少項數(shù).

師：能再舉一個例子嗎？

師：錯位相減法中“用公比q乘式(3)的兩邊”這一步目的是什么？

生：減少項數(shù).

由此錯位相減法才真正引入了……

造勢2依目標造勢.

師：類比等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1，前n項和Sn應該用什么量表示？

生：首項和公比.

師：通項代入后

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，

怎樣減少項數(shù)？等比數(shù)列中你還有什么知識可用？

生：利用等比數(shù)列定義，每一項乘公比變成后一項.

師：后面各項提出q后變成怎樣一個式子？

生：Sn=a1+q(a1+aq+…+a1qn-2)，即Sn-qSn=a1-a1qn-1.

師：這不就是錯位相減法的框架嗎？我們將其變形為錯位相減法：

Sn=a1+a2+…+an，

qSn=a2+…+anq,

兩式相減得

(1-q)Sn=a1-a1qn-1,

……

點評兩種造勢方式各有側(cè)重，造勢1側(cè)重如何引入和式兩邊同乘公比這一方法，造勢2側(cè)重目標的構(gòu)成研究.

理解數(shù)學概念、方法產(chǎn)生的歷程，把數(shù)學知識的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)是數(shù)學教學基本目標之一.雖然我們并不是很清楚高斯是如何得到錯位相減這種求和方法的，但我們通過造勢使學生的思維轉(zhuǎn)換順利實現(xiàn)，這就達成了教學的目標.

2.3 思維轉(zhuǎn)換之蓄勢轉(zhuǎn)換

文獻[2]中提到了10種轉(zhuǎn)換機制，如：正面問題反面化、整體問題局部化、運動問題靜止化等等.要讓學生形成這些轉(zhuǎn)換機制，日常教學中教師不僅要重視基礎(chǔ)知識、基本技能的鞏固，也要重視基本思想方法、基本數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，這就是我們經(jīng)常強調(diào)的四基.只有當四基的儲備到達一定層次，就像水庫蓄水到一定水位水流才能傾瀉而出，學生的思維之花才能綻放，筆者稱之為蓄勢.

蓄勢首要當然是雙基的積累，不再贅述.這里筆者著重提出處理數(shù)學問題的方法與策略的積累.

2.3.1 蓄方法之勢

數(shù)學的解題方法很多，對不同的問題有不同的方法.如求函數(shù)的值域問題：二次函數(shù)可用配方法、數(shù)形結(jié)合法；一次分式型函數(shù)可用分離常數(shù)法、反函數(shù)法；高次函數(shù)可用導數(shù)法等等.有時對同一個問題有不同視角的多種解法，如下面這個解析幾何題，筆者就采用了解析法、向量法、幾何法等多種方法.方法的積累我們姑且稱之為蓄方法之勢.

1)求直線AP斜率的取值范圍；

2)求|PA|·|PQ|的最大值．

(2017年浙江省數(shù)學高考試題第21題)

方法1解析法

1)設(shè)點P(x,y)，易得直線AP的斜率k∈(-1,1).

2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解出點Q，再進一步求得

|PA|·|PQ|=(1-k)(k+1)3.

令f(k)=(1-k)(k+1)3,其中k∈(-1,1),則

此法運算量超大，人稱“暴力解法”，主要表現(xiàn)為3步：一是求點Q坐標，二是用弦長公式計算|PA|·|PQ|，三是導數(shù)法求最值.每一步的運算量都不小，雖說解決解析幾何問題必須有扎實的運算功底，但作為核心素養(yǎng)的數(shù)學運算，首先要研究清楚算法，選擇適當?shù)乃惴ㄊ潜匾模虼擞斜匾獡Q一個視角處理長度之積，即進行思維轉(zhuǎn)換.

方法2向量法

向量轉(zhuǎn)換2考慮到AP⊥BQ，運用向量運算或投影法可將|PA|·|PQ|進一步轉(zhuǎn)換為

方法3幾何法

圓冪轉(zhuǎn)換由AP⊥BQ聯(lián)想到圓，點Q在以AB為直徑的圓上，由圓冪定理可知

以下同方法1和方法2.

點評3種方法實現(xiàn)了幾何問題解析化再到幾何法的多次轉(zhuǎn)換，可見命題人立意之深.高考中解析幾何題的正確解答，可以實現(xiàn)從中等得分到高分的跨越，此題不僅考查了解析幾何知識，還必須使用導數(shù)知識才能解決最值問題，方法1將耗費學生大量時間，因此需要平時積累方法對思維進行轉(zhuǎn)換，由此可見蓄勢的重要性.

反思高考試題是講究區(qū)分度的，要想在難度系數(shù)比較高的題目中拿到分數(shù)，不僅要掌握高中數(shù)學的四基，也要掌握常見的思維轉(zhuǎn)換方式，如代數(shù)與幾何的互化、高維問題低維化、一般問題特殊化等等.在經(jīng)歷一定程度的訓練后才能實現(xiàn)熟能生巧，因此三勢中蓄勢才是最重要的.

2.3.2 蓄策略之勢

以上我們提到蓄方法之勢，對解題方法的使用其實還只是程序性知識.對一些重要的知識模塊中的常見問題或常見題型，必須對其進行適當拓展和提升，使其上升為能夠讓學生接受的策略性知識，稱之為蓄策略之勢.下面以數(shù)列前n項和的最值問題為例加以說明.

案例5等差數(shù)列的前n項和的最值問題.

已知等差數(shù)列{an}，a1=26，a2=22，則其前n項和Sn何時取得最大值？

本題可采用單調(diào)性法和二次函數(shù)法解決(略).對于一般的等差數(shù)列{an}，我們均可以采用以上兩種方法加以解決,再升級后還可成為其他數(shù)列求最值的方法.

方法1(符號法)由首項及通項的符號確定Sn的最值.

方法2(函數(shù)法)利用Sn是n的函數(shù)，利用函數(shù)知識求最值.

求解最值.

點評從一個題目的解決，推廣到一類問題的解決，再上升到策略性知識，這讓學生的思維不僅深刻而且廣闊.

反思學生不僅要會解一個題目，而且要能夠推廣到一般情形.在推廣過程中也會發(fā)現(xiàn)，并不是每種方法都適用任何情形或題目,因此在解題過程中我們會選擇適當?shù)牟呗?以把控解題的方向避免無謂的損失.策略的選擇需要日常的學習經(jīng)驗的積累，即蓄策略之勢.

3 結(jié)束語

通過近幾年的實踐，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學“三勢能”對學生的思維轉(zhuǎn)換的主動性、靈活性、縝密性等起到了非常重要的作用[3].順勢、造勢實現(xiàn)了勢能從高位到低位的轉(zhuǎn)換，而蓄勢實現(xiàn)了低位到高位的轉(zhuǎn)換.總之，數(shù)學三勢能有助于實現(xiàn)思維的自然轉(zhuǎn)換，對數(shù)學學習的效率提升大有作用，值得大家去進一步研究.

[1] 李湘.順應學生思維 促進學生發(fā)展[J].中學數(shù)學月刊，2017(5)：21-24.

[2] 李發(fā)武,李良貴.引入轉(zhuǎn)換機制解題[J].數(shù)學通報，2001(4)：26-28.

[3] 周曉.高中數(shù)學教學要培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)換思維的能力[J].考試周刊，2015(79)：73-74.